几种常见的数学物理方程

波动方程

在二阶线性偏微分方程的分类上属于双曲型方程.

热传导方程

在二阶线性偏微分方程分类上属于抛物型方程.

稳定问题

在二阶线性偏微分方程分类上属于椭圆型方程.

定解问题

为了完全描述一个确定的物理问题, 除了给出物理场所遵从的方程之外, 还必须知道定解条件: 包括边界条件和初始条件 (稳定问题除外).

初始条件

体系 内部及边界上每一点 在初始时刻 () 的状况.

常用的积分变换有 Laplace 变换和 Fourier 变换两种.

Laplace 变换

Laplace 变换通常对时间变量进行. 有关性质见第八章.

Fourier 变换

通常适用于无界空间. 此外, 也还有半无界空间的 Fourier 变换 (即正弦变换或余弦变换) 与有限 Fourier 变换.

采用积分变换法求解偏微分方程定解问题, 一般情形下可减少自变量的数目. 可以将偏微分方程变成常微分方程, 甚至代数方程来求解. 这种解法的优点是无须区别方程及边界条件齐次或非齐次. 还有一个很大的优点是, 一些具有奇异性质的函数, 例如阶跃函数、 函数, 通过积分变换后, 变成连续函数, 易于处理.

正交曲面坐标系中的问分算符表达式

设正交曲面坐标系的三个坐标为 , , , 其孤元 为

其中 是此正交曲面坐标系的度规, 一般是 , , 的函数. 它可以通过直角坐标与正交曲面坐标之间的关系算出

在球坐标系中,

在柱坐标系中,

标量函数 的梯度

一般正交曲面坐标系中标量函数 的梯度

球坐标系中标量函数 的梯度

柱坐标系中标量函数 的梯度

矢量函数 的散度

一般正交曲面坐标系中矢量函数 的散度

球坐标系中适量函数 的散度

对含时间的 维空间的齐次问题

这里指的是 齐次方程 与 齐次边界条件 问题, 包括例如二维或三维热传导问题和波动问题. 偏微分方程是齐次的, 在空间 个方向上的边界条件也都是齐次的, 它们可以是: 一、二、三类边界条件; 周期条件; 有界条件等.

求解含时间的 维空间齐次问题的主要步骤:

分离变量

用乘积形式的特解代入齐次偏微分方程和齐次边界条件, 分离出 个关于空间变量的常微分方程和一个关于时间变量的常微分方程, 以及 对齐次边界条件;

Bessel 方程的来源

Helmholtz 方程在柱坐标系下分离变量, 可得

当 时, 做变换 , , 即可化为 Bessel 方程

不妨假设 . 在通常情形下 为整数或半奇数, 此时更可设 .

Bessel 方程的解有

当 整数时, , , 两两线性无关, 故 Bessel 方程的通解可取为

当 整数 时, 与 线性相关,

故 Bessel 方程的通解须取为

其中

柱函数

凡满足递推关系

的函数 统称为柱函数. Bessel 函数是第一类柱函数, Neumann 函数是第二类柱函数, Hankel 函数则是第三类柱函数.

稳定问题的 Green 函数

对于 Poisson 方程的定解问题

其 Green 函数 是点源问题

在齐次边界条件

下的解. 这里需约定 . 当 (第二类边界条件) 时, 需另行定义广义 Green 函数.

对于 Helmholtz 方程的定解问题

其 Green 函数 也是非齐次偏微分方程

在齐次边界条件

下的解.

Green 函数 的基本性质

的奇异性

是 的奇点, 但具体的奇异行为随空间维数而异.

伴算符与自伴算符

1.

设 和 为定义在一定函数空间内的线性 (微分) 算符, 若对于该函数空间内的任意函数 和 , 恒有

则称 是 的 伴算符.

反之, 也是 的伴算符.

2.

若算符 的伴算符就是自身, 则称 是 自伴算符. 这是有

自伴算符本征值问题的基本性质

前提是自伴算符的本粧值问题是否有解?

需要区别正则的与奇异的两种情形: 如果算符的定义域是无界或半无界区间, 或者区间的端点是方程的奇点, 则此本征值问题是奇异的, 否则就属于正则的本征值问题.

Legendre 方程和连带 Legendre 方程

Helmholtz 方程在球坐标系下分离变量, 即可得连带 Legendre 方程

以及它的特殊情形, Legendre 方程

做变换 , , 则又可将它们改写成

和

Legendre 多项式

本征值问题

的解是

称为 次 Legendre 多项式,

Legendre 多项式的主要性质

微分表示 (Rodrigues 公式)

生成函数

Legendre 多项式的生成函数是 ,