第十五章 柱函数

Bessel 方程的来源

Helmholtz 方程在柱坐标系下分离变量, 可得

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{1}{r}\text{dv}r(r\text{dv}Rr)+\text{qty}(\lambda -\frac{{\nu }^2}{r^2})R=0,\end{array}$$

当 $\lambda \ne 0$ 时, 做变换 $x=\sqrt{\lambda }r$, $y\text{qty}(x)=R\text{qty}(r)$, 即可化为 Bessel 方程

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{1}{x}\text{dv}x(x\text{dv}yx)+\text{qty}(1-\frac{{\nu }^2}{x^2})y=0.\end{array}$$

不妨假设 $\mathrm{\Re }\nu ⩾0$. 在通常情形下 $\nu$ 为整数或半奇数, 此时更可设 $\nu ⩾0$.

Bessel 方程的解有

$$\begin{array}{}\text{(3a)}& {\mathrm{J}}_{\pm \nu }\text{qty}(x)& =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\text{qty}(-1{)}^k}{k!\mathrm{\Gamma }\text{qty}(k\pm \nu +1)}\text{qty}(\frac{x}{2}{)}^{2k\pm \nu },\text{(3b)}& {\mathrm{N}}_{\nu }\text{qty}(x)& =\frac{\cos \nu \pi {\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(x)-{\mathrm{J}}_{-\nu }\text{qty}(x)}{\sin \text{qty}(\nu \pi )},\text{(3c)}& {\mathrm{H}}_{\nu }^{\text{qty}(1)}\text{qty}(x)& \equiv {\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(x)+i{\mathrm{N}}_{\nu }\text{qty}(x),\text{(3d)}& {\mathrm{H}}_{\nu }^{\text{qty}(2)}\text{qty}(x)& \equiv {\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(x)-i{\mathrm{N}}_{\nu }\text{qty}(x),\end{array}$$

当 $\nu \ne$ 整数时, ${\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(x)$, ${\mathrm{J}}_{-\nu }\text{qty}(x)$, ${\mathrm{N}}_{\nu }\text{qty}(x)$ 两两线性无关, 故 Bessel 方程的通解可取为

$$\begin{array}{}& y\text{qty}(x)=c_1{\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(x)+c_2{\mathrm{J}}_{-\nu }\text{qty}(x)\text{qor}y\text{qty}(x)=c_1{\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(x)+c_2{\mathrm{N}}_{\nu }\text{qty}(x).\end{array}$$

当 $\nu =$ 整数 $n$ 时, ${\mathrm{J}}_n\text{qty}(x)$ 与 ${\mathrm{J}}_{-n}\text{qty}(x)$ 线性相关,

$$\begin{array}{}& {\mathrm{J}}_{-n}\text{qty}(x)=\text{qty}(-1{)}^n{\mathrm{J}}_n\text{qty}(x).\end{array}$$

故 Bessel 方程的通解须取为

$$\begin{array}{}& y\text{qty}(x)=c_1{\mathrm{J}}_n\text{qty}(x)+c_2{\mathrm{N}}_n\text{qty}(x),\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{N}}_n\text{qty}(x)& =& \underset{\nu \to n}{lim}{\mathrm{N}}_{\nu }\text{qty}(x)\\ & =& \frac{2}{\pi }{\mathrm{J}}_n\text{qty}(x)\ln \frac{x}{2}-\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{n-1}\frac{\text{qty}(n-k-1)!}{k!}\text{qty}(\frac{x}{2}{)}^{2k-n}\\ \text{(4)}& & & -\frac{1}{\pi }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\text{qty}(-1{)}^k}{k!\text{qty}(n+k)!}\text{qty}(\frac{x}{2}{)}^{2k+n}\text{qty}[\mathrm{\Psi }\text{qty}(n+k+1)+\mathrm{\Psi }\text{qty}(k+1)].\end{array}$$

柱函数

凡满足递推关系

$$\begin{array}{}\text{(5a)}& & \text{dv}x\text{qty}[x^{\nu }{C}_{\nu }\text{qty}(x)]=x^{\nu }{C}_{\nu -1}\text{qty}(x),\text{(5b)}& & \text{dv}x\text{qty}[x^{-\nu }{C}_{\nu }\text{qty}(x)]=-x^{-\nu }{C}_{\nu +1}\text{qty}(x)\end{array}$$

的函数 $\text{qty}{C}_{\nu }\text{qty}(x)$ 统称为柱函数. Bessel 函数是第一类柱函数, Neumann 函数是第二类柱函数, Hankel 函数则是第三类柱函数.

柱函数一定是 Bessel 方程的解.

由 Bessel 方程及柱函数的递推关系, 当 $\mathrm{\Re }v⩾0$ 时可求得

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \begin{array}{rl}{\int }^x{C}_{\nu }^2\text{qty}(x)x\text{dd}x& =\frac{1}{2}{x}^2\text{qty}[C_{\nu }^2\text{qty}(x)+C_{\nu +1}^2\text{qty}(x)]-\nu x{C}_{\nu }\text{qty}(x)C_{\nu +1}\text{qty}(x)\\ & =\frac{1}{2}{x}^2\text{qty}[C_{\nu }^2\text{qty}(x)+C_{\nu }^{\prime 2}\text{qty}(x)]-\frac{1}{2}{\nu }^2{C}_{\nu }^2\text{qty}(x).\end{array}\end{array}$$

此结果可用于计算本征函数为柱函数时的模方.

整数阶 Bessel 函数的生成函数和积分表示

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \exp \text{bqty}\frac{x}{2}\text{pqty}t-\frac{1}{t}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{J}}_n\text{pqty}x{t}^n\text{qc}0<\text{vqty}t<\mathrm{\infty },\text{(8)}& {\mathrm{J}}_n\text{pqty}x=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\cos (x\sin \theta -n\theta )\text{dd}\theta .\end{array}$$

柱函数的渐近展开

当 $x\to 0$ 时,

$$\begin{array}{}\text{(9a)}& {\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(x)& \sim \frac{1}{\mathrm{\Gamma }\text{qty}(\nu +1)}\text{qty}(\frac{x}{2}{)}^{\nu },\text{(9b)}& {\mathrm{N}}_{\nu }\text{qty}(x)& \sim -\frac{\mathrm{\Gamma }\text{qty}(\nu )}{\pi }\text{qty}(\frac{x}{2}{)}^{-\nu },\text{(9c)}& {\mathrm{N}}_0\text{qty}(x)& \sim \frac{2}{\pi }\ln \frac{x}{2}.\end{array}$$

当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时,

$$\begin{array}{}\text{(10a)}& {\mathrm{J}}_{\nu }\text{pqty}x& \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos (x-\frac{\nu \pi }{2}-\frac{\pi }{4}),& \text{vqty}\arg x& <\pi ,\text{(10b)}& {\mathrm{N}}_{\nu }\text{pqty}x& \sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin (x-\frac{\nu \pi }{2}-\frac{\pi }{4}),& \text{vqty}\arg x& <\pi .\end{array}$$

在此基础上, 可进一步推出 Hankel 函数的渐近展开.

Bessel 方程的本征值问题

因为方程 $\text{(1)}$ 经适当变换后即可化为 Bessel 方程 $\text{(2)}$, 故方程 $\text{(1)}$ 配以适当的边界条件即构成 Bessel 方程的本征值问题. 常见的有下列两种类型:

柱内问题

此时边界条件为

$$\begin{array}{rl}& R\text{qty}(0)\text{有界},\\ & \text{qty}[\alpha R\text{qty}(r)+\beta \text{dv}R\text{qty}(r)r{]}_{r=a}=0.\end{array}$$

解之可得本征值 ${\lambda }_i$ 是超越方程

$$\begin{array}{}& \alpha {\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(\sqrt{\lambda }a)+\beta \sqrt{\lambda }{\mathrm{J}}_{\nu }^{\prime }\text{qty}(\sqrt{\lambda }a)=0\end{array}$$

的第 $i$ 个正根, $i=1,2,3,\dots$, 本征函数为

$$\begin{array}{}& R_i\text{qty}(r)={\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(\sqrt{{\lambda }_i}r).\end{array}$$

此本征函数组是区间 $\text{comm}0a$ 上的正交完备函数组, 权函数为 $r$.

空心柱体内的定解问题

此时边界条件为

$$\begin{array}{rl}& \text{qty}[{\alpha }_{1}R\text{qty}(r)+{\beta }_1\text{dv}R\text{qty}(r)r{]}_{r=a}=0.\\ & \text{qty}[{\alpha }_{2}R\text{qty}(r)+{\beta }_2\text{dv}R\text{qty}(r)r{]}_{r=b}=0.\end{array}$$

解之可得本征值 ${\lambda }_i$ 是超越方程

$$\begin{array}{}& \left|\begin{array}{cc}{\alpha }_1{\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(\sqrt{\lambda }a)+{\beta }_1\sqrt{\lambda }{\mathrm{J}}_{\nu }^{\prime }\text{qty}(\sqrt{\lambda }a)& {\alpha }_1{\mathrm{N}}_{\nu }\text{qty}(\sqrt{\lambda }a)+{\beta }_1\sqrt{\lambda }{\mathrm{N}}_{\nu }^{\prime }\text{qty}(\sqrt{\lambda }a)\\ {\alpha }_2{\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(\sqrt{\lambda }b)+{\beta }_2\sqrt{\lambda }{\mathrm{J}}_{\nu }^{\prime }\text{qty}(\sqrt{\lambda }b)& {\alpha }_2{\mathrm{N}}_{\nu }\text{qty}(\sqrt{\lambda }b)+{\beta }_2\sqrt{\lambda }{\mathrm{N}}_{\nu }^{\prime }\text{qty}(\sqrt{\lambda }b)\end{array}\right|=0\end{array}$$

的第 $i$ 个正根, $i=1,2,3,\dots$, 本征函数为

$$\begin{array}{rcl}{R}_i\text{qty}(r)& =& \text{qty}[{\alpha }_1{\mathrm{N}}_{\nu }\text{qty}(\sqrt{{\lambda }_i}a)+{\beta }_1\sqrt{{\lambda }_i}{\mathrm{N}}_{\nu }^{\prime }\text{qty}(\sqrt{{\lambda }_i}a)]{\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(\sqrt{{\lambda }_i}r)\\ & & -\text{qty}[{\alpha }_1{\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(\sqrt{{\lambda }_i}a)+{\beta }_1\sqrt{{\lambda }_i}{\mathrm{J}}_{\nu }^{\prime }\text{qty}(\sqrt{{\lambda }_i}a)]{\mathrm{N}}_{\nu }\text{qty}(\sqrt{{\lambda }_i}r).\end{array}$$

此本征函数组是区间 $\text{comm}ab$ 上的正交完备函数组, 权函数仍为 $r$.

虚宗量 Bessel 函数

$$\begin{array}{}\text{(11a)}& & {\mathrm{I}}_{\nu }\text{qty}(x)\equiv e^{-i\nu \pi /2}{\mathrm{J}}_{\nu }\text{qty}(x{e}^{i\pi /2})=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!\mathrm{\Gamma }\text{qty}(k+\nu +1)}\text{qty}(\frac{x}{2}{)}^{2k+\nu },\text{(11b)}& & {\mathrm{K}}_{\nu }\text{qty}(x)=\frac{\pi }{2\sin \nu \pi }\text{qty}[I_{-\nu }\text{qty}(x)-I_{\nu }\text{qty}(x)],\end{array}$$

它们是虚宗量 Bessel 方程

$$\begin{array}{}& \frac{1}{x}\text{dv}x(x\text{dv}yx)-\text{qty}(1+\frac{m^2}{x^2})y=0\end{array}$$

的解. 仍不妨假设 $\mathrm{\Re }v⩾0$.

渐进行为

当 $x\to 0$ 时,

$$\begin{array}{}\text{(12a)}& {\mathrm{I}}_{\nu }\text{qty}(x)\text{有界}\text{qc}{\mathrm{K}}_{\nu }\text{qty}(x)\text{无界}.\end{array}$$

当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时,

$$\begin{array}{}\text{(12b)}& {\mathrm{I}}_{\nu }\text{qty}(x)\sim \sqrt{\frac{1}{2\pi x}}{e}^x\text{qc}{\mathrm{K}}_{\nu }\text{qty}(x)\sim \sqrt{\frac{\pi }{2x}}{e}^{-x}.\end{array}$$

半奇数阶 Bessel 函数

$$\begin{array}{}\text{(13a)}& & x^{-n+1/2}{\mathrm{J}}_{-n+1/2}\text{qty}(x)=\text{qty}(\frac{1}{x}\text{dv}x{)}^n\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin x,\text{(13b)}& & x^{-n-1/2}{\mathrm{J}}_{n+1/2}\text{qty}(x)=\text{qty}(-\frac{1}{x}\text{dv}x{)}^n\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{\sin x}{x}.\end{array}$$

半奇数阶 Bessel 函数都是初等函数, 都是幂函数和三角函数的复合函数.

球 Bessel 函数

$$\begin{array}{}\text{(14a)}& {\mathrm{j}}_l\text{qty}(x)& =\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{\mathrm{J}}_{l+1/2}\text{qty}(x)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\text{qty}(-1{)}^n}{n!\mathrm{\Gamma }\text{qty}(n+l+\frac{3}{2})}\text{qty}(\frac{x}{2}{)}^{2n+l},\text{(14b)}& {\mathrm{n}}_l\text{qty}(x)& =\text{qty}(-1{)}^{l+1}{\mathrm{j}}_{-l-1}\text{qty}(x)=\sqrt{\frac{\pi }{2x}}{\mathrm{N}}_{l+1/2}\text{qty}(x)\text{(14c)}& & =\text{qty}(-1{)}^{l+1}\frac{\sqrt{\pi }}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\text{qty}(-1{)}^n}{n!\mathrm{\Gamma }\text{qty}(n-l+\frac{1}{2})}\text{qty}(\frac{x}{2}{)}^{2n-l-1},\end{array}$$

分别为 $l$ 阶球 Bessel 函数和球 Neumann 函数. 它们是球 Bessel 方程

$$\begin{array}{}& \frac{1}{x^2}\text{dv}x(x^2\text{dv}yx)+\text{qty}[1-\frac{l\text{qty}(l+1)}{x^2}]y\text{qty}(x)=0\end{array}$$

的解. 由球 Bessel 函数和球 Neumann 函数还可以定义球 Hankel 函数,

$$\begin{array}{}\text{(15a)}& {\mathrm{h}}_l^{\text{qty}(1)}& ={\mathrm{j}}_l\text{qty}(x)+i{\mathrm{n}}_l\text{qty}(x),\text{(15b)}& {\mathrm{h}}_l^{\text{qty}(2)}& ={\mathrm{j}}_l\text{qty}(x)-i{\mathrm{n}}_l\text{qty}(x).\end{array}$$

Helmholtz 方程在球坐标系下分离变量得到的径向方程可以化为球 Bessel 方程.

平面波按柱面波展开

$$\begin{array}{}\text{(16)}& e^{ikr\cos \theta }={\mathrm{J}}_0\text{qty}(kr)+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^n{\mathrm{J}}_n\text{qty}(kr)\cos n\theta ,\end{array}$$

其中 $r$, $\theta$ 均为柱坐标系中的坐标变量, 此平面波沿 $x$ 方向传播.

平面波按球面波展开

$$\begin{array}{}\text{(17)}& e^{ikr\cos \theta }=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\text{qty}(2l+1)i^l{\mathrm{j}}_l\text{qty}(kr){\mathrm{P}}_l\text{qty}(\cos \theta ),\end{array}$$

其中 $r$, $\theta$ 均为球坐标系中的坐标变量, 次平面波沿 $z$ 方向传播.