第十八章 Green 函数方法

稳定问题的 Green 函数

对于 Poisson 方程的定解问题

$$\begin{array}{}\text{(1a)}& \text{laplacian}u=\rho \text{qc}r\in V,\text{(1b)}& \text{qty}(\alpha u+\beta \text{pdv}un{)}_{\mathrm{\Sigma }}=f\text{qty}(\mathrm{\Sigma }),\end{array}$$

其 Green 函数 $G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })$ 是点源问题

$$\begin{array}{}\text{(2a)}& \text{laplacian}G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })=-\delta \text{qty}(\text{vb}\ast r-\text{vb}\ast r^{\prime })\text{qc}\text{vb}\ast r,\text{vb}\ast r^{\prime }\in V\end{array}$$

在齐次边界条件

$$\begin{array}{}\text{(2b)}& \text{qty}(\alpha G+\beta \text{pdv}Gn{)}_{\mathrm{\Sigma }}=0\end{array}$$

下的解. 这里需约定 $\alpha \ne 0$. 当 $\alpha =0$ (第二类边界条件) 时, 需另行定义广义 Green 函数.

对于 Helmholtz 方程的定解问题

$$\begin{array}{}\text{(3a)}& \text{laplacian}u+k^{2}u=\rho \text{qc}r\in V,\text{(3b)}& \text{qty}(\alpha u+\beta \text{pdv}un{)}_{\mathrm{\Sigma }}=f\text{qty}(\mathrm{\Sigma }),\end{array}$$

其 Green 函数 $G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })$ 也是非齐次偏微分方程

$$\begin{array}{}\text{(4a)}& \text{laplacian}G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })+k^{2}G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })=-\delta \text{qty}(\text{vb}\ast r-\text{vb}\ast r^{\prime })\text{qc}\text{vb}\ast r,\text{vb}\ast r^{\prime }\in V\end{array}$$

在齐次边界条件

$$\begin{array}{}\text{(4b)}& \text{qty}(\alpha G+\beta \text{pdv}Gn{)}_{\mathrm{\Sigma }}=0\end{array}$$

下的解.

Green 函数 $G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })$ 的基本性质

$G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })$ 的奇异性

$\text{vb}\ast r=\text{vb}\ast r^{\prime }$ 是 $G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })$ 的奇点, 但具体的奇异行为随空间维数而异.

$G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })$ 的对称性

当 $G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })$ 满足定解问题 $\text{(4a)}$, $\text{(4b)}$ 时, 则具有对称性:

$$\begin{array}{}& G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })=G\text{qty}(\text{vb}\ast r^{\prime };\text{vb}\ast r).\end{array}$$

解偏微分方程定解问题的 Green 函数方法

对于定解问题 $\text{(1a)}$, $\text{(1b)}$ 或 $\text{(3a)}$, $\text{(3b)}$, 均有解

$$\begin{array}{}\text{(5)}& u\text{qty}(r)=-{\iiint }_{V}G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })\rho \text{qty}(\text{vb}\ast r^{\prime })\text{dd}\text{vb}\ast r^{\prime }-\frac{1}{\alpha }{\iint }_{\mathrm{\Sigma }}f\text{qty}({\mathrm{\Sigma }}^{\prime })\text{eval}{\text{pdv}G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })n^{\prime }}_{{\mathrm{\Sigma }}^{\prime }}\text{dd}{\mathrm{\Sigma }}^{\prime },\end{array}$$

其中 $G\text{qty}(\text{vb}\ast r;\text{vb}\ast r^{\prime })$ 是定解问题 $\text{(2a)}$, $\text{(2b)}$ 或 $\text{(4a)}$, $\text{(4b)}$ 的解.

波动方程的 Green 函数

以一维有界区间内的波动方程定解问题

$$\begin{array}{}\text{(6a)}& & \text{pdv}[2]ut-a^2\text{pdv}[2]ux=f\text{qty}(x,t),& & & & 0<x<l,t>0,\text{(6b)}& & \text{eval}{u}_{x=0}=\mu \text{qty}(t),& & \text{eval}{u}_{x=l}=\nu \text{qty}(t),& & t>0,\text{(6c)}& & \text{eval}{u}_{t=0}=\varphi \text{qty}(x),& & \text{eval}{\text{pdv}ut}_{t=0}=\psi \text{qty}(x),& & 0<x<l\end{array}$$

为例, 其 Green 函数 $G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })$ 是瞬时 (仅存在于某一时刻) 点 (仅存在于空间某点) 源问题

$$\begin{array}{}\text{(7a)}& \text{qty}(\text{pdv}[2]t-a^2\text{pdv}[2]x)G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })=\delta \text{qty}(x-x^{\prime })\delta \text{qty}(t-t^{\prime })\text{qc}x<x,x^{\prime }<l,t,t^{\prime }>0\end{array}$$

在齐次定解条件

$$\begin{array}{}\text{(7b)}& & \text{eval}{G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })}_{x=0}=0,& & \text{eval}{G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })}_{x=l}=0,& & t,t^{\prime }>0,\text{(7c)}& & \text{eval}{G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })}_{t<t^{\prime }}=0,& & \text{eval}{\text{pdv}G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })t}_{t<t^{\prime }}=0,& & 0<x,x^{\prime }<l\end{array}$$

下的解. 去掉定解问题 $\text{(7a)}$, $\text{(7b)}$, $\text{(7c)}$ 中的限制条件 $t,t^{\prime }>0$, 也就是将 Green 函数 $G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })$ 的定义域延拓为 $-\mathrm{\infty }<t,t^{\prime }<\mathrm{\infty }$, 则 $G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })$ 具有空间变量的对称性和时间变量的倒易性

$$\begin{array}{}& G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })=G\text{qty}(x^{\prime },-t^{\prime };x,-t).\end{array}$$

可以用此 Green 函数 $G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })$ 表示出定解问题 $\text{(7a)}$, $\text{(7b)}$, $\text{(7c)}$ 的解

$$\begin{array}{rcl}u\text{qty}(x,t)& =& {\int }_0^l\text{dd}x{\int }_0^{t}G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })f\text{qty}(x^{\prime },t^{\prime })\text{dd}{t}^{\prime }\\ & & +{\int }_0^l\text{qty}[\text{eval}{G\text{qty}(x,t;x^{\prime },0)\psi \text{qty}(x^{\prime })-\varphi \text{qty}(x^{\prime })\text{pdv}G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })t^{\prime }}_{t^{\prime }=0}]\text{dd}{x}^{\prime }\\ \text{(8)}& & & -a^2{\int }_0^t\text{qty}[\nu \text{qty}(t^{\prime })\text{eval}{\text{pdv}G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })x^{\prime }}_{x^{\prime }=l}-\mu \text{qty}(t^{\prime })\text{eval}{\text{pdv}G\text{qty}(x,t;x^{\prime },t^{\prime })x^{\prime }}_{x^{\prime }=0}]\text{dd}{t}^{\prime }.\end{array}$$

热传导问题也可类似地讨论.

Green 函数的求法

Green 函数满足的是非齐次方程、齐次定解条件的定解问题, 因此可以用按相应齐次问题本征函数展开法求解, 也可用积分变换法求解; 另一方面, 由于出现的是特殊的非齐次项 (点源或瞬时点源, 数学形式为 $\delta$ 函数), 故又有一些特殊的解法, 如电像法.