第十二章分离变量法

liblaf6/8/22About 5 min

对含时间的 $n$ 维空间的齐次问题

这里指的是 齐次方程 与 齐次边界条件 问题, 包括例如二维或三维热传导问题和波动问题. 偏微分方程是齐次的, 在空间 $n$ 个方向上的边界条件也都是齐次的, 它们可以是: 一、二、三类边界条件; 周期条件; 有界条件等.

求解含时间的 $n$ 维空间齐次问题的主要步骤:

分离变量

用乘积形式的特解代入齐次偏微分方程和齐次边界条件, 分离出 $n$ 个关于空间变量的常微分方程和一个关于时间变量的常微分方程, 以及 $n$ 对齐次边界条件;

$n + 1$ 个常微分方程中含有 $n$ 个待定参数;

求解本征值问题

$n$ 个关于空间的常微分方程与各自相应的齐次边界条件构成 $n$ 个本征值问题. 求出所有 $n$ 组本征值和本征函数;

求特解并叠加成一般解

把本征值代入关于时间变量的常微分方程中, 求时间函数的通解; 将 $n$ 个本征函数与时间函数连乘起来构成 (满足齐次偏微分方程和齐次边界条件的特解; 将所有特解叠加成一般解, 它是一个 $n$ 重求和的级数.

确定叠加系数

将一般解代入初值条件, 利用本征函数的正交完备性确定叠加系数而得解.

稳定的 $n$ 维空间齐次问题由一个有 $n$ 个变数的齐次偏微分方程, $n - 1$ 组齐次边界条件构成的定解问题. 应能分出 $n - 1$ 个本征值问题, 剩余一个非齐次边界条件用来定系数. 求解步骤与上基本相同.

原则上可以令未知函数为 $n$ 个函数之和, 每一个函数满足的定解问题都是由齐次方程及 $n - 1$ 对齐次边界条件构成.

对非齐次方程、齐次边界条件问题的求解方法

用相应齐次问题的本征函数展开的方法

将解与非齐次项按相应齐次问题的本征函数展开 (包括按多个本征函数的多重展开), 代入方程后比较系数, 得到展开的系数函数所满足的非齐次常微分方程. 解此方程即可得解.

求特解的方法

注意此特解不仅需满足非齐次方程, 还必须满足齐次边界条件.

边界条件为非齐次时, 定解问题的求解方法

在任何情况下, 都必须首先将边界条件齐次化. 边界条件齐次化后, 一般余下一个非齐次方程的问题.

如有可能, 将方程和边界条件同时齐次化, 即选择齐次化函数也是偏微分方程的解, 那么就余下一个齐次定解问题.

对于二维、三维乃至 $n$ 维空间内的波动方程或热传导方程定解问题, 如果有不止一对非齐次边界条件, 可以通过分拆为几个定解问题, 使得每个定解问题中只有一对非齐次边界条件.

本征值问题

本征值问题是分离变量法的核心问题. 本征函数的正交完备性为分离变量法提供了理论基础. 在实际操作上, 不论是齐次问题中将相应于不同本征函数的特解叠加成一般解, 还是将非齐次方程的解用本征函数展开, 确定叠加系数 (展开系数), 都取决于本征函数的基本性质 (详见第十六章).

以两端固定弦的自由振动为例, 纠正集中错误说法和概念

\begin{aligned} (1a) & \pdv [2] u t - a^{2} \pdv [2] u x = 0, & 0 < x < l, t > 0, \\ (1b) & \eval u_{x = 0} = 0, & \eval u_{x = l} = 0, & t ⩾ 0, \\ (1c) & \eval u_{t = 0} = ϕ \qty (x), & \eval {\pdv u t}_{t = 0} = ψ \qty (x), & 0 ⩽ x ⩽ l . \end{aligned}

定解问题 $(1a)$ , $(1b)$ , $(1c)$ 的特解为

\begin{matrix} u_{n} \qty (x, t) = \sin \frac{n π}{l} x \qty (A_{n} \sin \frac{n π}{l} a t + B_{n} \cos \frac{n π}{l} a t) . \end{matrix}

类似的说法还有: 定解问题 $(1a)$ , $(1b)$ , $(1c)$ 的特解有无穷多个, $u_{n} \qty (x, t)$ , $n = 1, 2, 3, \dots$ .

这类说法的错误在于: $u_{n} \qty (x, t)$ 只满足齐次偏微分方程 $(1a)$ 和齐次边界条件 $(1b)$ , 并不满足初始条件 $(1c)$ . 所以, 正确的说法是: $u_{n} \qty (x, t)$ 是满足其次偏微分方程 $(1a)$ 和齐次边界条件 $(1b)$ 的特解.

换一个角度说, 作为定解问题, 只要它是适定的, 那就只有唯一的一个解, 不存在特解和通解.

定解问题 $(1a)$ , $(1b)$ , $(1c)$ 的通解为

\begin{matrix} (2) & u \qty (x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \sin \frac{n π}{l} x \qty (A_{n} \sin \frac{n π}{l} a t + B_{n} \cos \frac{n π}{l} a t) c \end{matrix}

这种说法的错误和上面的第 1 种说法类似. 正确的说法是: $(2)$ 式是满足齐次偏微分方程 $(1a)$ 和齐次边界条件 $(1b)$ 的一般解. 注意, 这里称为一般解而非通解.

而且, 更严格说, 这样的级数解只是形式解, 只有级数收敛, 并且能逐项求导两次, 才是满足 $(1a)$ 和 $(1b)$ 的一般解.

从概念上说, 通解的说法, 只适用于常微分方程和偏微分方程. 对于二阶线性齐次常微分方程, 它的特解一定含有两个叠加常数. 对于二阶线性齐次偏微分方程, 如果它的通解存在的话, 一定含有两个任意函数.

第十二章 分离变量法

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