第十二次作业

5.1

[!QUESTION]
试判断下面每对拉丁方是否正交?

$$(1)\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right].$$$$(2)\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\\ 3& 4& 1& 2\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 4& 1& 2\\ 2& 3& 4& 1\\ 4& 1& 2& 3\end{array}\right].$$$$(3)\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 4& 5& 1\\ 3& 4& 5& 1& 2\\ 4& 5& 1& 2& 3\\ 5& 1& 2& 3& 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccccc}5& 1& 2& 3& 4\\ 4& 5& 1& 2& 3\\ 3& 4& 5& 1& 2\\ 2& 3& 4& 5& 1\\ 1& 2& 3& 4& 5\end{array}\right].$$

(1) 所有有序对均为唯一, 共 $3\times 3=9$ 种, 无重复. 因此, 这对 3 阶拉丁方是正交的.
(2) (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) 在第四行重复出现. 因此, 这对 4 阶拉丁方不正交.
(3) 所有 $5\times 5=25$ 个有序对均不重复. 因此, 这对 5 阶拉丁方是正交的.

5.2

[!QUESTION]
试判断下列拉丁方是否为正交族?

$$(1)\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 4\\ 3& 1& 4& 2\\ 2& 4& 1& 3\\ 4& 2& 3& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}3& 1& 4& 2\\ 2& 4& 1& 3\\ 1& 3& 2& 4\\ 4& 2& 3& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc}2& 4& 1& 3\\ 1& 3& 2& 4\\ 3& 1& 4& 2\\ 4& 2& 3& 1\end{array}\right].$$$$(2)\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 3& 4& 5& 1\\ 3& 4& 5& 1& 2\\ 4& 5& 1& 2& 3\\ 5& 1& 2& 3& 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 4& 5& 1& 2\\ 5& 1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 5& 1\\ 4& 5& 1& 2& 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 5& 1& 2& 3& 4\\ 4& 5& 1& 2& 3\\ 3& 4& 5& 1& 2\\ 2& 3& 4& 5& 1\end{array}\right].$$

(1) 由于任意两个拉丁方都是正交的, 所以这个拉丁方集合是一个正交族.
(2) 由于任意两个拉丁方都是正交的, 所以这个拉丁方集合是一个正交族.