第十一次作业

1. (4.14.)

[!QUESTION]
一个正六面体的 6 个面用 g, r, b, y 四种颜色涂染, 求其中两个面用色 g, 两个面用色 y, 其余一面用 b, 一面用 r 的方案数.

使用母函数形式的 Pólya 定理, 对立方体面染色问题进行分析. 设颜色变量为 $g,y,b,r$, 需计算满足 $g^2{y}^{2}br$ 项的系数. 立方体对称群 $G$ 的循环指标为:

$$\begin{gathered} Z_G=\frac{1}{24}[(g+y+b+r{)}^6+6(g^4+y^4+b^4+r^4)(g+y+b+r{)}^2 \\ +3(g^2+y^2+b^2+r^2{)}^2(g+y+b+r{)}^2+6(g^2+y^2+b^2+r^2{)}^3+8(g^3+y^3+b^3+r^3{)}^2] \end{gathered}$$

1. 恒等置换 ($1^6$)

展开 $(g+y+b+r{)}^6$, 提取 $g^2{y}^{2}br$ 项系数:

$$\frac{6!}{2!2!1!1!}=180$$

2. 绕面中心轴 180° 旋转 ($2^2{1}^2$)

母函数项为 $(g^2+y^2+b^2+r^2{)}^2(g+y+b+r{)}^2$, 需组合出 $g^2{y}^{2}br$:

• 从 $(g^2+y^2+b^2+r^2{)}^2$ 选 $g^2{y}^2$ (系数 2)
• 从 $(g+y+b+r{)}^2$ 选 $br$ (系数 2)
  总系数: $2\times 2=4$, 3 个置换贡献 $3\times 4=12$

3. 其他置换类型

因循环长度与颜色次数矛盾, 贡献为 0.

总不动点数目:

$$\frac{180+12}{24}=8$$

2. (4.18.)

[!QUESTION]
若已给两个 r 色球, 两个 b 色的球, 用它装在正六面体的顶点, 试问有多少种不同的方案.

我们应用母函数形式的 Pólya 定理.

1. 确定正六面体的对称群及其循环指数

正六面体的旋转群共有 24 个元素, 分为以下五类:

• 恒等变换 (1 个): 循环结构为 $s_1^8$.
• 绕面中心轴旋转 90° 或 270° (6 个): 循环结构为 $s_4^2$.
• 绕面中心轴旋转 180° (3 个): 循环结构为 $s_2^4$.
• 绕边中心轴旋转 180° (6 个): 循环结构为 $s_2^4$.
• 绕顶点轴旋转 120° 或 240° (8 个): 循环结构为 $s_1^2{s}_3^2$.

循环指数为:

$$P=\frac{1}{24}[s_1^8+6s_4^2+9s_2^4+8s_1^2{s}_3^2]$$

2. 构造生成函数并代入循环指数

每个顶点有三种状态: 红色 ®、蓝色 (b) 或未染色 (1). 将 $s_k$ 替换为 $(r^k+b^k+1)$, 得到生成函数:

$$P=\frac{1}{24}[(r+b+1{)}^8+6(r^4+b^4+1{)}^2+9(r^2+b^2+1{)}^4+8(r+b+1{)}^2(r^3+b^3+1{)}^2]$$

3. 提取 $r^2{b}^2$ 项的系数

计算各部分对 $r^2{b}^2$ 项的贡献:

1. 恒等变换: $(r+b+1{)}^8$ 中 $r^2{b}^2$ 的系数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2,2,4})=420$.
2. 绕面中心轴旋转 90° 或 270°: $(r^4+b^4+1{)}^2$ 无 $r^2{b}^2$ 项, 贡献为 $0$.
3. 绕面中心轴旋转 180° 和绕边中心轴旋转 180°: $(r^2+b^2+1{)}^4$ 中 $r^2{b}^2$ 的系数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1,1,2})=12$, 总贡献为 $9\times 12=108$.
4. 绕顶点轴旋转 120° 或 240°:$(r+b+1{)}^2(r^3+b^3+1{)}^2$ 中无 $r^2{b}^2$ 项, 贡献为 $0$.

总贡献为 $420+108=528$, 等价类数目为 $528/24=22$.