第十次作业

1. (4.15.)

[!QUESTION]
对一个正六面体的 8 个顶点, 用 y 和 r 两种颜色染色, 使其中有 5 个顶点用色 y, 其余 3 个顶点用色, 求其方案数.

根据 Cauchy-Frobenius 引理, 我们需要计算立方体对称群中每个元素的不动点数目, 并求其平均值.

1. 恒等变换 (1 个)

所有染色方案均被保留, 方案数为组合数:

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{5})=56$$

2. 绕面中心轴旋转 90° 或 270° (共 6 个)

循环结构为两个 4- 循环. 由于每个循环颜色必须相同, 但总颜色数要求 5y 和 3r (奇数), 无法满足, 故不动点数为:

$$6\times 0=0$$

3. 绕面中心轴旋转 180° (共 3 个)

循环结构为四个 2- 循环. 总颜色数要求为奇数, 无法满足, 故不动点数为:

$$3\times 0=0$$

4. 绕边中心轴旋转 180° (共 6 个)

循环结构为四个 2- 循环. 同样无法满足奇数颜色要求, 故不动点数为:

$$6\times 0=0$$

5. 绕体对角线轴旋转 120° 或 240° (共 8 个)

循环结构为两个 3- 循环和两个 1- 循环. 每个 3- 循环必须同色, 两个 1- 循环必须为 y. 颜色分配有两种方式 (3y+3r 或 3r+3y), 故每个操作的不动点数为:

$$8\times 2=16$$

总不动点数目为:

$$56+0+0+0+16=72$$

应用 Burnside 引理, 等价类数为:

$$\frac{72}{24}=3$$

2. (4.16.)

[!QUESTION]
用 b, r, g 这 3 种颜色的的 5 个珠子镶成的圆环, 共有几种不同的方案.

圆环的旋转对称群为循环群 $C_5$, 包含 5 种旋转操作: 旋转 0 步 (恒等变换)、1 步、2 步、3 步、4 步.

对于旋转 $k$ 步的操作, 其循环分解的循环数为 $gcd(k,5)$:

• 当 $k=0$ 时, $gcd(0,5)=5$ (5 个长度为 1 的循环).
• 当 $k=1,2,3,4$ 时, $gcd(k,5)=1$ (1 个长度为 5 的循环).

若置换分解为 $m$ 个循环, 则不动点数目为 $3^m$ (每个循环内颜色相同):

• 恒等操作 ($k=0$): $3^5=243$.
• 其他旋转操作 ($k=1,2,3,4$): 各为 $3^1=3$.

总方案数为所有操作不动点数的平均值:

$$\frac{1}{5}(3^5+4\times 3^1)=\frac{243+12}{5}=\frac{255}{5}=51$$