第九次作业

1. (4.1.)

[!QUESTION]
若群 $G$ 的元素 $a$ 均可表示为某一个元素 $x$ 的幂, 即 $a=x^m$, 则称这个群为循环群. 若群的元素交换律成立. 即 $a,b\in G$ 满足, $a\cdot b=b\cdot a$, 则这个群为阿贝尔 (Abel) 群, 试证明所有的循环群都是阿贝尔群.

设 $G$ 是一个循环群, 其生成元为 $x$. 根据循环群的定义, $G$ 中的任意元素均可表示为 $x$ 的整数次幂, 即对任意的 $a,b\in G$, 存在整数 $m,n$ 使得 $a=x^m$ 且 $b=x^n$.

考虑 $a$ 和 $b$ 的乘积:

$$a\cdot b=x^m\cdot x^n=x^{m+n}$$

同理, 交换顺序后的乘积为:

$$b\cdot a=x^n\cdot x^m=x^{n+m}$$

由于整数加法满足交换律 ($m+n=n+m$), 因此:

$$x^{m+n}=x^{n+m}$$

从而 $a\cdot b=b\cdot a$.

由此可知, 循环群 $G$ 中任意两个元素的乘积满足交换律, 故 $G$ 是阿贝尔群.

2. (4.2.)

[!QUESTION]
若 $x$ 是群 $G$ 的一个元素, 存在一最小的正整数 $m$, 使 $x^m=e$, 则称 $m$ 为 $x$ 的阶, 试证: $C=\{e,x,x^2,\dots ,x^{m-1}\}$ 是 $G$ 的一个子群.

要证明集合 $C=\{e,x,x^2,\dots ,x^{m-1}\}$ 是群 $G$ 的子群, 只需验证以下两点:

1. 非空性: 显然 $e\in C$, 因此 $C$ 非空.
2. 封闭性与逆元存在性: 采用子群判定定理, 即对任意 $x^a,x^b\in C$, 有 $x^a\cdot (x^b{)}^{-1}\in C$.

• 逆元运算: 对于 $x^b\in C$, 其逆元为 $x^{m-b}$. 因为当 $b\in \{0,1,\dots ,m-1\}$ 时, $m-b\in \{1,2,\dots ,m\}$, 但 $x^m=e$, 故 $x^{m-b}=x^{-b}\in C$ (指数通过模 $m$ 归约).
• 乘积运算: $x^a\cdot x^{-b}=x^{a-b}$. 将指数 $a-b$ 对 $m$ 取模, 得到 $x^{(a-b)\mathrm{mod}m}$. 由于 $(a-b)\mathrm{mod}m\in \{0,1,\dots ,m-1\}$, 故 $x^{(a-b)\mathrm{mod}m}\in C$.

因此, $C$ 对群运算和取逆封闭, 且非空, 满足子群的定义.

3. (4.3)

[!QUESTION]
设 $G$ 是阶为 $n$ 的有限群, 则 $G$ 的所有元素的阶都不超过 $n$.

设 $G$ 是阶为 $n$ 的有限群. 任取 $a\in G$, 记 $a$ 的阶为 $m$. 根据元素阶的定义, $⟨a⟩=\{e,a,a^2,\dots ,a^{m-1}\}$ 是 $G$ 的一个 $m$ 阶循环子群. 由于 $G$ 的阶为 $n$, 其子群的阶必须满足 $m⩽n$ (子群的元素数量不能超过原群).

进一步地, 若假设 $m>n$, 则由鸽巢原理, 在序列 $a^0,a^1,\dots ,a^n$ 中必存在重复元素 $a^i=a^j$ ($0⩽i<j⩽n$). 此时 $a^{j-i}=e$ 且 $0<j-i⩽n<m$, 这与 $m$ 是 $a$ 的最小正阶矛盾. 因此必有 $m⩽n$.

综上, $G$ 中所有元素的阶均不超过 $n$.

4. (4.4)

[!QUESTION]
若 $G$ 是阶为 $n$ 的循环群, 求群 $G$ 的母元素的数目, 即 $G$ 的元素可表示 $a$ 的幂: $a^1,a^2,\dots ,a^n$ 的元素 $a$ 的数目.

若元素 $a^k$ 是 $G$ 的母元素, 则 $a^k$ 的阶必须等于 $n$. 根据循环群的性质, $a^k$ 的阶为 $\frac{n}{gcd(k,n)}$. 因此, $\frac{n}{gcd(k,n)}=n$ 当且仅当 $gcd(k,n)=1$.

满足 $1⩽k⩽n$ 且 $gcd(k,n)=1$ 的整数 $k$ 的个数即为欧拉函数 $\varphi (n)$. 因此, $G$ 的母元素数目为 $\varphi (n)$.