第六次作业

1. (3.2.)

[!QUESTION]
求从 1 到 500 的整数中被 3 和 5 整除但不被 7 整除的数的个数.

被 3 和 5 整除的数即 15 的倍数. 设 $A$ 为 1 – 500 中 15 的倍数集合, $B$ 为被 7 整除的数集合. 所求为 $|A-B|=|A|-|A\cap B|$.

1. $|A|=\lfloor \frac{500}{15}\rfloor =33$
2. $|A\cap B|=\lfloor \frac{500}{105}\rfloor =4$
3. $|A-B|=|A|-|A\cap B|=33-4=29$

2. (3.10.)

[!QUESTION]
A, B, C 三种材料用作产品 I, II, III 的原料, 但要求 I 禁止用 B, C 作原料, II 不能用 B 作原料, III 不允许用 A 作原料, 问有多少种安排方案? (假定每种材料只做一种产品的原料).

根据题目要求, 每种材料必须分配到唯一的产品, 且满足各产品的原料限制. 具体分析如下:

1. 材料 B 的限制: 产品 I 和 II 均禁止使用 B, 因此 B 只能分配到 III.
2. 材料 A 的限制: 产品 III 禁止使用 A, 因此 A 只能分配到 I 或 II.
3. 材料 C 的限制: 产品 I 禁止使用 C, 因此 C 只能分配到 II 或 III.

由于各材料的分配相互独立, 总方案数为各材料可选数的乘积:

• A 有 2 种选择（I 或 II）
• B 有 1 种选择（III）
• C 有 2 种选择（II 或 III）

因此, 总的安排方案数为: $2\times 1\times 2=4$.