第四次作业

1. (2.56.)

[!QUESTION]
空间有 $n$ 个平面, 任意 3 个平面交于一点, 无四平面共点. 问这样的 $n$ 个平面将空间分割成多少个不重叠的域.

1. 递推关系建立:

   • 设 $R(n)$ 表示 $n$ 个平面分割空间的区域数. 当添加第 $n$ 个平面时, 它被前 $n-1$ 个平面分割成若干区域, 每个区域对应新增一个空间区域.

   • 前 $n-1$ 个平面与第 $n$ 个平面交于 $n-1$ 条直线, 这些直线两两相交于不同的点 (由题目条件保证), 形成 $C(n-1,2)$ 个交点.

   • 根据二维区域数公式, $n-1$ 条直线将第 $n$ 个平面分割为 $\frac{1}{2}n(n-1)$ 个区域. 因此, 递推公式为:

     $$$$

R(n) = R(n - 1) + \frac{1}{2} n (n - 1) + 1

$$2.\ast \ast \mathrm{递}\mathrm{推}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{求}\mathrm{解}:\ast \ast -\mathrm{初}\mathrm{始}\mathrm{条}\mathrm{件}\$R(0)=1\$,\mathrm{展}\mathrm{开}\mathrm{递}\mathrm{推}\mathrm{式}\mathrm{得}:$$

R(n) = 1 + \sum_{k = 1}^{n} \left(\frac{1}{2} k (k - 1) + 1 \right)

$$-\mathrm{计}\mathrm{算}\mathrm{求}\mathrm{和}\mathrm{部}\mathrm{分}:$$

\sum*{k = 1}^{n} \left(\frac{k^2 - k + 2}{2} \right) = \frac{1}{2} \left(\sum*{k = 1}^n k^2 - \sum_{k = 1}^n k + 2 n \right)

$$-\mathrm{代}\mathrm{入}\mathrm{求}\mathrm{和}\mathrm{公}\mathrm{式}\$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\$,\$\sum _{k=1}^n=\frac{1}{2}n(n+1)\$,\mathrm{化}\mathrm{简}\mathrm{后}\mathrm{得}\mathrm{到}:$$

R(n) = \frac{1}{6} (n^3 + 5 n + 6)

$$\text{\#\# 2. (2.62.) > [!QUESTION] > 在一圆周上取 \$n\$ 个点, 过一对定点可做一弦, 不存在三弦共点的现象, 求弦把圆分割成几部分? 1. **顶点数 \$V\$:** - 圆周上的 \$n\$ 个点. - 内部交点由每 4 个点确定一对相交弦, 共 \$mathop{C}(n, 4)\$ 个. - 总顶点数 \$V = n + mathop{C}(n, 4)\$. 2. **边数 \$E\$:** - 每条弦被其他弦分割的段数为其交点数加 1. - 总边数包括弦被分割后的直线段和圆周的 \$n\$ 个弧段:}$$

E = \mathop{C}(n, 2) + \mathop{C}(n, 4) + n

$$3.\ast \ast \mathrm{应}\mathrm{用}\mathrm{欧}\mathrm{拉}\mathrm{公}\mathrm{式}\$V-E+F=2\$:\ast \ast -\mathrm{解}\mathrm{的}\mathrm{区}\mathrm{域}\mathrm{数}\$F=E-V+2\$.-\mathrm{圆}\mathrm{内}\mathrm{区}\mathrm{域}\mathrm{数}\mathrm{为}\$F-1\$(\mathrm{减}\mathrm{去}\mathrm{外}\mathrm{部}\mathrm{区}\mathrm{域}):$$

  \begin{equation*}
    \begin{split}
      R & = (\mathop{C}(n, 2) + \mathop{C}(n, 4) + n) - (n + \mathop{C}(n, 4)) + 1 \\
        & = \mathop{C}(n, 4) + \mathop{C}(n, 2) + 1
    \end{split}
  \end{equation*}

$$\text{\#\# 3. (2.18.) > [!QUESTION] > 利用特征法求递推关系的解, 其中 \$a\_1 = a\_2 = 1\$. > 1. \$a\_n - 6 a\_{n - 1} + 8 a\_{n - 2} = 0\$. > 2. \$a\_n + 14 a\_{n - 1} + 49 a\_{n - 2} = 0\$. \#\#\# 3.1. \#\#\#\#\#\# 特征方程 将递推关系转化为特征方程:}$$

r^2 - 6 r + 8 = 0

$$\mathrm{解}\mathrm{得}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{根}:$$

r = 2 \quad \text{和} \quad r = 4

$$\text{\#\#\#\#\#\# 通解形式 由于有两个不同的实根, 通解为:}$$

a_n = C \cdot 2^n + D \cdot 4^n

$$\text{\#\#\#\#\#\# 代入初始条件 利用初始条件 \$a\_1 = a\_2 = 1\$ 建立方程组:}$$

\begin{cases}

2 C + 4 D = 1 \

4 C + 16 D = 1

\end{cases}

$$\mathrm{解}\mathrm{得}$$

C = \frac{3}{4}, \quad D = -\frac{1}{8}

$$\text{\#\#\#\#\#\# 最终解 代入 \$C\$ 和 \$D\$ 得:}$$

a_n = \frac{3}{4} \cdot 2^n - \frac{1}{8} \cdot 4^n

$$\text{\#\#\# 3.2. \#\#\#\#\#\# 特征方程 将递推关系转化为特征方程:}$$

r^2 + 14 r + 49 = 0

$$\mathrm{解}\mathrm{得}\mathrm{二}\mathrm{重}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{根}:$$

r = -7 \quad \text{(重根)}

$$\text{\#\#\#\#\#\# 通解形式 由于是重根, 通解为:}$$

a_n = (C + D n) \cdot (-7)^n

$$\text{\#\#\#\#\#\# 代入初始条件 利用初始条件 \$a\_1 = a\_2 = 1\$ 建立方程组:}$$

\begin{cases}

• 7 (C + D) = 1 \
  49 (C + 2 D) = 1
  \end{cases}

$$\mathrm{解}\mathrm{得}:$$

C = -\frac{15}{49}, \quad D = \frac{8}{49}

$$\text{\#\#\#\#\#\# 最终解 代入 \$C\$ 和 \$D\$ 得:}$$

a_n = \frac{8 n - 15}{49} \cdot (-7)^n

$$$$