Chap. 3: 力学量用算符表达

3.1 算符的运算规则

(a) 线性算符

$$\hat{A}(c_1{\psi }_1+c_2{\psi }_2)=c_1\hat{A}{\psi }_1+c_2\hat{A}{\psi }_2$$

(b) 算符之和

$$\text{pqty}\hat{A}+\hat{B}\psi =\hat{A}\psi +\hat{B}\psi$$

© 算符之积

$$\text{pqty}\hat{A}\hat{B}\psi =\hat{A}\text{pqty}\hat{B}\psi$$

一般来说, 算符之积不满足交换律, 即 $\hat{A}\hat{B}\ne \hat{B}\hat{A}$. 这是算符与通常数的运算规则的 唯一不同之处.

量子力学的基本对易式

定义 对易式 (commutator)

$$\text{comm}\hat{A}\hat{B}=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$$

$$\text{comm}{x}_{\alpha }{p}_{\beta }=i\hslash {\delta }_{\alpha \beta }$$

不难证明, 对易式满足下列代数恒等式:

$$\begin{array}{rl}& \text{comm}\hat{A}\hat{B}=-\text{comm}\hat{B}\hat{A}\\ & \text{comm}\hat{A}\hat{B}+\hat{C}=\text{comm}\hat{A}\hat{B}+\text{comm}\hat{A}\hat{C}\\ & \text{comm}\hat{A}\hat{B}\hat{C}=\hat{B}\text{comm}\hat{A}\hat{C}+\text{comm}\hat{A}\hat{B}\hat{C}\\ & \text{comm}\hat{A}\hat{B}\hat{C}=\hat{A}\text{comm}\hat{B}\hat{C}+\text{comm}\hat{A}\hat{C}\hat{B}\\ & \text{comm}\hat{A}\text{comm}\hat{B}\hat{C}+\text{comm}\hat{B}\text{comm}\hat{C}\hat{A}+\text{comm}\hat{C}\text{comm}\hat{A}\hat{B}=0& \text{qq}(Jacobi\mathrm{恒}\mathrm{等}\mathrm{式})\end{array}$$

角动量的对易式

$$\widehat{\text{vb}\ast l}=\text{vb}\ast r\text{cp}\widehat{\text{vb}\ast p}$$$$\text{comm}{\hat{l}}_{\alpha }{x}_{\beta }={\epsilon }_{\alpha \beta \gamma }i\hslash x_{\gamma }$$

式中 ${\epsilon }_{\alpha \beta \gamma }$ 称为 Levi-Civita 符号, 是一个三阶反对称张量, 定义如下:

$$\{\begin{array}{l}{\epsilon }_{\alpha \beta \gamma }=-{\epsilon }_{\beta \alpha \gamma }=-{\epsilon }_{\alpha \gamma \beta }\\ {\epsilon }_{123}=1\end{array}$$

类似可以证明,

$$\text{comm}{\hat{l}}_{\alpha }{\hat{p}}_{\beta }={\epsilon }_{\alpha \beta \gamma }i\hslash p_{\gamma }$$

还可以证明

$$\text{comm}{\hat{l}}_{\alpha }{\hat{l}}_{\beta }={\epsilon }_{\alpha \beta \gamma }i\hslash {\hat{l}}_{\gamma }$$

这就是 角动量各分量的对易式, 是很重要的, 必须牢记.

$$\widehat{\text{vb}\ast l}\text{cp}\widehat{\text{vb}\ast l}=i\hslash \widehat{\text{vb}\ast l}$$$$\text{comm}{\widehat{\text{vb}\ast l}}^2{\hat{l}}_{\alpha }=0\text{qc}\alpha =x,y,z$$

在球坐标系中, 利用坐标变换关系, 即

$$\{\begin{array}{l}x=r\sin \theta \cos \phi ,\\ y=r\sin \theta \sin \phi ,\\ z=r\cos \theta ,\end{array}\{\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \theta =\arctan (\sqrt{x^2+y^2}/z)\\ \phi =\arctan (y/x)\end{array}$$

可以把 $\widehat{\text{vb}\ast l}$ 各分量表示为

$$\begin{array}{rl}{\hat{l}}_x& =i\hslash \text{pqty}\sin \phi \text{pdv}\theta +\cot \theta \cos \phi \text{pdv}\phi \\ {\hat{l}}_y& =i\hslash \text{pqty}-\cos \phi \text{pdv}\theta +\cot \theta \sin \phi \text{pdv}\phi \\ {\hat{l}}_z& =-i\hslash \text{pdv}\phi \\ {\widehat{\text{vb}\ast l}}^2& =-{\hslash }^2\text{bqty}\frac{1}{\sin \theta }\text{pdv}\theta \sin \theta \text{pdv}\theta +\frac{1}{\sin [2]\theta }\text{pdv}[2]\phi \end{array}$$

(d) 逆算符

设算符 $\hat{A}$ 之逆算符存在, 不难证明

$$\hat{A}{\hat{A}}^{-1}={\hat{A}}^{-1}\hat{A}=I\text{qc}\text{comm}\hat{A}{\hat{A}}^{-1}=0$$$$\text{pqty}{\hat{A}\hat{B}}^{-1}={\hat{B}}^{-1}{\hat{A}}^{-1}$$

(e) 算符的函数

定义一个量子体系的任意两个波函数 (态) $\psi$ 和 $\phi$ 的 “标积”

$$(\psi ,\phi )=\int \text{dd}\tau {\psi }^{\ast }\phi$$

可以证明

$$\{\begin{array}{l}(\psi ,\psi )⩾0\\ (\psi ,\phi {)}^{\ast }=(\phi ,\psi )\\ (\psi ,c_1{\phi }_1+c_2{\phi }_2)=c_1(\psi ,{\phi }_1)+c_2(\psi ,{\phi }_2)\\ (c_1{\psi }_1+c_2{\psi }_2,\phi )=c_1^{\ast }({\psi }_1,\phi )+c_2^{\ast }({\psi }_2,\phi )\end{array}$$

(f) 转置算符

$$\text{pqty}\psi ,\tilde{\hat{A}}\phi =\text{pqty}{\phi }^{\ast },\hat{A}{\psi }^{\ast }$$$$\widetilde{\text{pqty}\hat{A}\hat{B}}=\tilde{\hat{B}}\tilde{\hat{A}}$$

(g) 复共轭算符与厄米共轭算符

$${\hat{A}}^{\ast }\psi =\text{pqty}{\hat{A}{\psi }^{\ast }}^{\ast }$$

算符 ${\hat{A}}^{\ast }$ 的表达式与表象有关.

$$\text{pqty}\psi ,{\hat{A}}^{+}\phi =\text{pqty}\hat{A}\psi ,\phi$$$${\hat{A}}^{+}={\tilde{\hat{A}}}^{\ast }$$$$\text{pqty}{\hat{A}\hat{B}\hat{C}\cdots }^{+}=\cdots {\hat{C}}^{+}{\hat{B}}^{+}{\hat{A}}^{+}$$

(h) 厄米算符

$$\text{pqty}\psi ,\hat{A}\phi =\text{pqty}\hat{A}\psi ,\phi ,\text{qq}\mathrm{或}{\hat{A}}^{+}=\hat{A}$$$$\text{pqty}{\hat{A}\hat{B}}^{+}={\hat{B}}^{+}{\hat{A}}^{+}=\hat{B}\hat{A}$$

只当 $\text{comm}\hat{A}\hat{B}=0$ 时, 上式才等于 $\hat{A}\hat{B}$, 即 $\hat{A}\hat{B}$ 为厄米算符.

定理

体系的任何状态下, 其厄米算符的平均值必为实数.

逆定理

在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符.

实验上可观测量, 当然要求在任何态下平均值都是实数, 因此 相应的算符必须是厄米算符.

推论

设 $\hat{A}$ 为厄米算符, 则在任意态 $\psi$ 之下,

$$\overline{A^2}=\text{pqty}\psi ,{\hat{A}}^2\psi =\text{pqty}\hat{A}\psi ,\hat{A}\psi ⩾0$$

3.2 厄米算符的本征值与本征函数

涨落定义为

$$\overline{\mathrm{\Delta }{A}^2}=\overline{\text{pqty}{\hat{A}-\stackrel{―}{A}}^2}=\int {\psi }^{\ast }\text{pqty}{\hat{A}-\bar{A}}^2\psi \text{dd}\tau$$

如果体系处于一种特殊的状态, 测量 $A$ 所得结果是唯一确定的, 即涨落 $\overline{\mathrm{\Delta }{A}^2}=0$, 则称这种状态为力学量 $A$ 的 本征态.

$$\hat{A}{\psi }_n=A_n{\psi }_n$$

$A_n$ 称为 $\hat{A}$ 的一个本征值, ${\psi }_n$ 为相应的 本征态. 量子力学中的一个基本假定是: 测量力学量 $A$ 时所有可能出现的值, 都是相应的线性厄米算符 $\hat{A}$ 的本征值.

定理 1

厄米算符的本征值必为实.

定理 2

厄米算符的属于不同本征值的本征函数, 彼此正交.

例 1

求角动量 $z$ 分量 ${\hat{l}}_z=-i\hslash \text{pdv}\phi$ 的本征值与本征函数.

$$\begin{array}{c}{l}_z^{\prime }=m\hslash \text{qc}m=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \\ {\psi }_m(\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\phi }\text{qc}m=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \end{array}$$

例 2

平面转子的能量本征值与本征态.

$$\begin{array}{c}{\psi }_m(\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{im\phi }\text{qc}m=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \\ E_m=m^2{\hslash }^2/2I⩾0\end{array}$$

例 3

求动量的 $x$ 分量 ${\hat{p}}_x=-i\hslash \text{pdv}x$ 的本征态.

$${\psi }_{p_x^{\prime }}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}{e}^{i{p}_x^{\prime }x/\hslash }$$

例 4

一维自由粒子的能量本征态.

$$\begin{array}{c}{\psi }_E(x)\sim e^{\pm ikx}\text{qc}k=\sqrt{2mE}/\hslash ⩾0\\ E={\hslash }^2{k}^2/2m⩾0\end{array}$$

3.3 共同本征函数

3.3.1 不确定度关系的严格证明

$$\mathrm{\Delta }A\text{vdot}\mathrm{\Delta }B⩾\frac{1}{2}\text{abs}\overline{\text{comm}AB}$$

这就是 任意两个力学量 $A$ 与 $B$ 在任意量子态下的不确定度 (涨落) 必须满足的关系式, 即不确定度关系 (uncertainty relation).

若两个力学量 $A$ 与 $B$ 不对易, 则一般来说 $\mathrm{\Delta }A$ 与 $\mathrm{\Delta }B$ 不能同时为零, 即 $A$ 与 $B$ 不能共同测定 (但注意 $\overline{\text{comm}AB}=0$ 的特殊态可能是例外), 或者说 它们不能有共同本征态. 反之, 若两个厄米算符 $\hat{A}$ 与 $\hat{B}$ 对易, 则可以找出这样的态, 使 $\mathrm{\Delta }A=0$ 与 $\mathrm{\Delta }B=0$ 同时满足, 即可以找出它们的共同本征态.

3.3.2 $(\text{vb}\ast l^2,l_z)$ 的共同本征态, 球谐函数

由于角动量的三个分量不对易, 一般无共同本征态. 但由于 $\text{comm}\text{vb}\ast l^2,l_{\alpha }=0(\alpha =x,y,z)$, 我们可以找出 $\text{vb}\ast l^2$ 与任何一个分量 (如 $l_z$) 的共同本征态.

采用球坐标, $\text{vb}\ast l^2$ 表示为

$$\begin{array}{rl}\text{vb}\ast l^2& =-\hslash \text{bqty}\frac{1}{\sin \theta }\text{pdv}\theta \sin \theta \text{pdv}\theta +\frac{1}{\sin [2]\theta }\text{pdv}[2]\phi \\ & =-\frac{{\hslash }^2}{\sin \theta }\text{pdv}\theta \sin \theta \text{pdv}\theta +\frac{1}{\sin [2]\theta }{l}_z^2\end{array}$$

令

$$Y(\theta ,\phi )=\mathrm{\Theta }(\theta ){\psi }_m(\phi )$$$$\begin{array}{c}{\mathrm{\Theta }}_{lm}(\theta )=(-1{)}^m\sqrt{\frac{(2l+1)}{2}\text{vdot}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}{P}_l^m(\cos \theta )\\ m=l,l-1,\cdots ,-l+1,-l\end{array}$$

$(\text{vb}\ast l^2,l_z)$ 的正交归一的共同本征函数表示为

$$Y_{lm}(\theta ,\phi )=(-1{)}^m\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}{P}_l^m(\cos \theta )e^{im\phi }$$

$Y_{lm}$ 称为球谐 (spherical harmonic) 函数, 它们满足

$$\begin{array}{c}\text{vb}\ast l^2{Y}_{lm}=l(l+1){\hslash }^2{Y}_{lm}\\ l_z{Y}_{lm}=m\hslash Y_{lm}\\ l=0,1,2,\cdots \text{qc}m=l,l-1,\cdots ,-l+1,-l\\ {\int }_0^{2\pi }\text{dd}\phi {\int }_0^{\pi }\sin \theta \text{dd}\theta Y_{lm}^{\ast }(\theta ,\phi )Y_{l^{\prime }{m}^{\prime }}(\theta ,\phi )={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}\end{array}$$

$l$ 称为 轨道角动量量子数, $m$ 称为 磁量子数. 对于给定 $l$, $\text{vb}\ast l^2$ 的本征函数是不确定的, 因为 $m=l,l-1,\cdots ,-l$, 共有 $(2l+1)$ 个简并态. $Y_{lm}$ 就是用 ${\hat{l}}_z$ 的本征值来区分这些简并态.

3.3.3 对易力学量完全集 (CSCO)

设给定一组量子数 $\alpha$ 之后, 就能够确定体系的唯一一个可能状态, 则我们称 $({\hat{A}}_1,{\hat{A}}_2,\cdots )$ 构成体系的一组 对易可观测量完全集.

如体系的 Hamilton 量不显含时间 $t$ ($\text{pdv}\ast Ht=0$), 则 $H$ 为守恒量. 在此情况下, 如对易力学量完全集中包含有体系的 Hamilton 量, 则完全集中各力学量都是守恒量, 这种完全集又称为 对易守恒量完全集 (CSCCO) 包括 $H$ 在内的守恒量完全集的共同本征态, 当然是定态, 所相应的量子数都称为 好量子数.

关于 CSCO, 再做几点说明:

1. CSCO 是限于 最小集合, 即从集合中抽出任何一个可观测量后, 就不再构成体系的 CSCO. 所以要求 CSCO 中各观测量是 函数独立的.
2. 一个给定体系的 CSCO 中, 可观测量的数目一般等于体系自由度的数目, 但也可以大于体系自由度的数目.
3. 一个给定体系往往可以找到多个 CSCO, 或 CSCCO. 在处理具体问题时, 应视其侧重点来进行选择. 一个 CSCCO 的成员的选择, 涉及体系的对称性.

3.3.4 量子力学中力学量用厄米算符表达

量子体系的可观测量 (力学量) 用一个线性厄米算符来描述, 也是 量子力学的一个基本假定, 它们的正确性应该由实验来判定. “量子力学中力学量用相应的线性厄米算符来表达”, 其含义是多方面的.

1. 在给定状态 $\psi$ 之下, 力学量 $A$ 的平均值 $\bar{A}$ 由下式决定

   $$\bar{A}=\text{pqty}\psi ,\hat{A}\psi /\text{pqty}\psi ,\psi$$

$$\text{2. 在实验上观测某力学量 \$A\$, 它的 **可能取值 \$A'\$** 就是算符 \$hat{A}\$ 的某一个本征值. 由于力学量的观测值总是实数, 所以要求相应的算符为厄米算符. 3. 力学量之间的关系也通过相应的算符之间的关系反映出来. 例如, 两个力学量 \$A\$ 与 \$B\$, 在一般情况下, 可以同时具有确定的观测值的必要条件为 \$comm{hat{A}}{hat{B}} = 0\$. 反之, 若 \$comm{hat{A}}{hat{B}} neq 0\$, 则一般来说, 力学量 \$A\$ 和 \$B\$ 不能同时具有确定的观测值. 特别是对于 \$H\$ 不显含 \$t\$ 的体系, **一个力学量 \$A\$ 是否是守恒量**, 可以根据 \$hat{A}\$ 与 \$hat{H}\$ 是否对易来判断. \#\# 3.4 连续谱本征函数的 "归一化" \#\#\# 3.4.1 连续谱本征函数是不能归一化的 \#\#\# 3.4.2 \$delta\$ 函数 \$delta\$ 函数定义为}$$

\var(x - x_0) =
\begin{cases}
0, & x \neq x_0 \
\infty, & x = x_0
\end{cases}

$$$$

\int_{x_0 - \varepsilon}^{x_0 + \varepsilon} \var(x - x_0) \dd{x}
= \int_{-\infty}^{+\infty} \var(x - x_0) \dd{x}
= 1
\quad
(\varepsilon > 0)

$$\mathrm{或}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{地}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{为}:\mathrm{对}\mathrm{于}\mathrm{在}\$x=x_0\$\mathrm{邻}\mathrm{域}\mathrm{连}\mathrm{续}\mathrm{的}\mathrm{任}\mathrm{何}\mathrm{函}\mathrm{数}\$f(x)\$$$

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \var(x - x_0) \dd{x} = f(x_0)

$$\$\delta \$\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{也}\mathrm{可}\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{成}$$

\var(x - x_0) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \dd{k} e^{i k (x - x_0)}

$$\text{\#\#\# 3.4.3 箱归一化 **为了保证动量算符 \$hat{p}\_x = - i hbar pdv{x}\$ 为厄米算符, 就要求波函数满足周期性边界条件**. 动量本征态 \$psi\_p(x) sim e^{i p x / hbar}\$, 在周期条件下}$$

\psi_p(- L / 2) = \psi_p(L / 2)

$$\mathrm{正}\mathrm{交}\mathrm{完}\mathrm{备}\mathrm{的}\mathrm{箱}\mathrm{归}\mathrm{一}\mathrm{化}\mathrm{波}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{为}$$

\psi_p(\vb*{r}) = \frac{1}{L^{3 / 2}} e^{i \vb*{p} \vdot \vb*{r} / \hbar}

$$\mathrm{式}\mathrm{中}$$

p_x = \frac{h}{L} n, p_y = \frac{h}{L} l, p_z = \frac{h}{L} m \qc
n, l, m = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots

$$$$

\begin{equation} \label{eq:22}
\var(\vb*{r} - \vb*{r}‘) = \frac{1}{\hbar^3} \int_{-\infty}^{+\infty} \dd[3]{p} e^{i \vb*{p} \vdot (\vb*{r} - \vb*{r}’) / \hbar}
\end{equation}

$$\mathrm{式}\$\text{(???)}\$\mathrm{表}\mathrm{明}\ast \ast \mathrm{相}\mathrm{空}\mathrm{间}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{体}\mathrm{积}\mathrm{元}\${\hslash }^3\$\mathrm{相}\mathrm{当}\mathrm{于}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{量}\mathrm{子}\mathrm{态}\ast \ast .$$