Chap.2: 一维势场中的粒子

2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质

$$\text{bqty}-\frac{{\hslash }^2}{2m}\text{dv}[2]x+V(x)\psi (x)=E\psi (x)$$

定理 1

设 $\psi (x)$ 是方程 $\text{(???)}$ 的一个解, 对应的能量本征值为 $E$, 则 ${\psi }^{\ast }(x)$ 也是方程 $\text{(???)}$ 的一个解, 对应的能量也是 $E$.

假设对应于能量的某个本征值 $E$, 方程 $\text{(???)}$ 的解无简并 (即只有一个独立的解), 则可取为实解.

定理 2

对应于能量的某个本征值 $E$, 总可以找到方程 $\text{(???)}$ 的一组实解, 凡是属于 $E$ 的任何解, 均可表示为这一组实解的线性叠加.

定理 3

设 $V(x)$ 具有空间反射不变性, $V(-x)=V(x)$. 如 $\psi (x)$ 是方程 $\text{(???)}$ 的对应于能量本正值 $E$ 的解, 则 $\psi (-x)$ 也是方程 $\text{(???)}$ 的对应于能量 $E$ 的解.

定理 4

设 $V(-x)=V(x)$, 则对应于任何一个能量本征值 $E$, 总可以找到方程 $\text{(???)}$ 的一组解 (每一个解都有确定的宇称), 而属于能量本征值 $E$ 的任何解, 都可用它们来展开.

定理 5

对于阶梯形方位势

$$V(x)=\{\begin{array}{ll}{V}_1,& x<a\\ V_2,& x>a\end{array}$$

$(V_2-V_1)$ 有限, 则能量本征函数 $\psi (x)$ 及其导数 ${\psi }^{\prime }(x)$ 必定是连续的 (但如 $\text{abs}{V}_2-V_1\to \mathrm{\infty }$, 则定理不成立).

定理 6

对于一维粒子, 设 ${\psi }_1(x)$ 与 ${\psi }_2(x)$ 均为方程 $\text{(???)}$ 的属于同一能量 $E$ 的解, 则

$${\psi }_1{\psi }_2^{\prime }-{\psi }_2{\psi }_1^{\prime }=\text{常数 (与 }x\text{ 无关)}$$

定理 7

设粒子在规则 (regular) 势场 $V(x)$ ($V(x)$ 无奇点) 中运动, 如存在束缚态, 则必定是不简并的.

2.2 方势

2.2.1 无限深方势阱, 离散谱

$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<a\\ \mathrm{\infty },& x<0,x>a\end{array}$$$$E=E_n=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2{n}^2}{2m{a}^2}\text{qc}n=1,2,3,\dots$$

一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的, 即构成的能谱是离散的 (discrete). $E_n$ 称为体系的能量本征值. 与 $E_n$ 对应的波函数记为 ${\psi }_n(x)$, 称为能量本征函数,

$${\psi }_n(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\frac{2}{a}}\sin (\frac{n\pi x}{a}),& 0<x<a\\ 0,& x<0,x>a\end{array}$$

讨论:

1. 粒子的最低能级 $E_1=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{a}^2}\ne 0$, 这与经典粒子不同, 是微观粒子波动性的表现, 因为 “静止的波” 是没有意义的. 从不确定度关系也可得出此定性的结论. 因为粒子限制在无限深势阱中, 位置不确定度 $\mathrm{\Delta }x\sim a$. 按不确定度关系, $\mathrm{\Delta }p\sim \hslash /\mathrm{\Delta }x\sim \hslash /a$. 因此, 粒子能量 $E\sim p^2/2m\sim (\mathrm{\Delta }p{)}^2/2m\sim {\hslash }^2/2m{a}^2\ne 0$.
2. 从图 2.1 可看出, 除端点 ($x=0,a$) 外, 基态 (能量最低态, $n=1$) 波函数无节点, 第一激发态 ($n=2$) 有一个节点, 第 $k$ 激发态 ($n=k+1$) 有 $k$ 个节点.
3. 不难验证, 波函数 $\text{(???)}$ 在全空间连续, 但微商 ${\psi }_n^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 和 $a$ 点不连续.

练习

试取无限深方势阱的中心为坐标原点, 即

$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{abs}x<a/2\\ \mathrm{\infty },& \text{abs}x⩾a/2\end{array}$$

证明粒子的能量仍如式 $\text{(???)}$ 所示, 但波函数表示为

$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}\begin{array}{c}\sqrt{\frac{2}{a}}\cos (\frac{n\pi x}{a})\text{qc}n=1,3,5,\cdots ,\text{(偶宇称)}\\ \sqrt{\frac{2}{a}}\sin (\frac{n\pi x}{a})\text{qc}n=2,4,6,\cdots ,\text{(奇宇称)}\end{array}& \text{abs}x<a/2\\ 0,& \text{abs}x⩾a/2\end{array}$$

2.2.2 有限深对称方势阱

设

$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{abs}x<a/2\\ V_0,& \text{abs}x>a/2\end{array}$$

$a$ 为阱宽, $V_0$ 为势阱高度. 以下讨论束缚态 ($0<E<V_0$) 的情况.

$$\begin{array}{c}\beta =\sqrt{2m(V_0-E)}/\hslash \text{qq}(\mathrm{实})\\ k=\sqrt{2mE}/\hslash \end{array}$$

(a) 偶宇称态

$$\psi (x)\sim \cos kx(\text{abs}x⩽a/2)$$$$k\tan (ka/2)=\beta$$

引进无量纲参数

$$\xi =ka/2\text{qc}\eta =\beta a/2$$

则式 $\text{(???)}$ 化为

$$\xi \tan \xi =\eta$$

此外, 有

$${\xi }^2+{\eta }^2=m{V}_0{a}^2/2{\hslash }^2$$

(b) 奇宇称态

$$\psi (x)\sim \sin kx(\text{abs}x<a/2)$$$$-k\cot (ka/2)=\beta$$$$-\xi \cot \xi =\eta$$

2.2.3 束缚态与离散谱

束缚能量本征态 ($E<V_0$) 的能量是离散的.

基态波函数无节点, 激发态的节点数依次增加一个, 能量愈高的激发态, 波函数振荡愈厉害.

2.2.4 方势垒的反射与透射

$$V(x)=\{\begin{array}{ll}{V}_0,& 0<x<a\\ 0,& x<0,x>a\end{array}$$$$\text{abs}{R}^2+\text{abs}{S}^2=1$$

$\text{abs}{R}^2$ 表示粒子被势垒反弹回去的概率, $\text{abs}{S}^2$ 表示粒子透过势垒的概率. 粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象, 称为 隧道效应 (tunnel effect), 它是粒子具有波动性的表现.

$T$ 灵敏地依赖于粒子的质量 $m$、势垒宽度 $a$ 以及 $(V_0-E)$.

2.2.5 方势阱的反射、透射与共振

2.3 $\delta$ 势

2.3.1 $\delta$ 势的穿透

2.3.2 $\delta$ 势阱中的束缚态

2.3.3 $\delta$ 势与方势的关系, 波函数微商的跃变条件

2.4 一维谐振子