Chap 1: 波函数与 Schrodinger 方程

1.1 波函数的统计诠释

1.1.1 实物粒子的波动性

$$\lambda =h/p\text{qc}\nu =E/h$$

1.1.2 波粒二象性的分析

在非相对论情况下, 自由粒子能量 $E=p^2/2m$, 利用 de Broglie 关系, 可得

$$\omega =\hslash k^2/2m\text{qc}k=2\pi /\lambda$$

所以波包的群速度为

$$v_g=\text{dv}\ast \omega k=\hslash k/m=p/m=v$$

即经典粒子的速度.

1.1.3 概率波, 多粒子体系的波函数

1.1.4 动量分布概率

$$\psi (\text{vb}\ast r)=\frac{1}{\text{pqty}{2\pi \hslash }^{\frac{3}{2}}}\int \phi (\text{vb}\ast p)e^{i\text{vb}\ast p\text{vdot}\text{vb}\ast r/\hslash }\text{dd}[3]p$$$$\phi (\text{vb}\ast p)=\frac{1}{\text{pqty}{2\pi \hslash }^{\frac{3}{2}}}\int \psi (\text{vb}\ast r)e^{-i\text{vb}\ast p\text{vdot}\text{vb}\ast r/\hslash }\text{dd}[3]r$$

1.1.5 不确定性原理与不确定度关系

$$\mathrm{\Delta }x\text{vdot}\mathrm{\Delta }p⩾\frac{\hslash }{2}$$

1.1.6 力学量的平均值与算符的引进

$$\begin{array}{rlr}\widehat{\text{vb}\ast p}& =-i\hslash \text{grad}& \text{qq}(\mathrm{动}\mathrm{量}\mathrm{算}\mathrm{符})\\ \hat{T}& =-\frac{h^2}{2m}{\text{grad}}^2& \text{qq}(\mathrm{动}\mathrm{能}\mathrm{算}\mathrm{符})\\ \text{vb}\ast l& =\text{vb}\ast r\text{cp}\widehat{\text{vb}\ast p}& \text{qq}(\mathrm{角}\mathrm{动}\mathrm{量}\mathrm{算}\mathrm{符})\\ \hat{H}& =-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\text{grad}}^2+V(\text{vb}\ast r)& \text{qq}(Hamilton\mathrm{算}\mathrm{符})\end{array}$$

一般来说, 粒子的力学量 $A$ 的平均值可如下求出

$$\bar{A}=\int {\psi }^{\ast }(\text{vb}\ast r)\hat{A}\psi (\text{vb}\ast r)\text{dd}[3]r=\text{pqty}\psi ,\hat{A}\psi$$

$\hat{A}$ 是与力学量 $A$ 对应的算符. 如波函数未归一化, 则

$$\bar{A}=\text{pqty}\psi ,\hat{A}\psi /\text{pqty}\psi ,\psi$$

1.1.7 统计诠释对波函数提出的要求

1. $\psi (\text{vb}\ast r)$ 取有限值
2. 一个真实的波函数需要满足归一化条件 (平方可积)
3. $\text{abs}{\psi (\text{vb}\ast r)}^2$ 单值
4. 波函数 $\psi (\text{vb}\ast r)$ 及其各阶微商的连续性

1.2 Schrodinger 方程

1.2.1 Schrodinger 方程的引进

先讨论 自由 粒子.

$$\omega =E/\hslash \text{qc}\text{vb}\ast k=\text{vb}\ast p/\hslash$$$$i\hslash \text{pdv}t\psi (\text{vb}\ast r,t)=\text{bqty}-\frac{h^2}{2m}{\text{grad}}^2+V(\text{vb}\ast r)\psi (\text{vb}\ast r,t)$$

1.2.2 Schrodinger 方程的讨论

1. 定域的概率守恒

$$\begin{array}{rl}\rho (\text{vb}\ast r,t)& ={\psi }^{\ast }(\text{vb}\ast r,t)\psi (\text{vb}\ast r,t)\\ \text{vb}\ast j(\text{vb}\ast r,t)& =-\frac{i\hslash }{2m}\text{pqty}{\psi }^{\ast }\text{grad}\psi -\psi \text{grad}{\psi }^{\ast }\\ & =\frac{1}{2m}\text{pqty}{\psi }^{\ast }\widehat{\text{vb}\ast p}\psi -\psi \widehat{\text{vb}\ast p}{\psi }^{\ast }\end{array}$$

$\rho$ 表示概率密度, $\text{vb}\ast j$ 表示概率流密度.

$$\text{pdv}t\rho +÷\text{vb}\ast j=0$$

2. 初值问题, 传播子

由于 Schrodinger 方程 只含波函数 $\psi (\text{vb}\ast r,t)$ 对时间的一次微商, 只要在初始时刻 $(t=0)$ 体系的状态 $\psi (\text{vb}\ast r,0)$ 给定, 则以后任何时刻 $t$ 的状态 $\psi (\text{vb}\ast r,t)$ 原则上就完全确定 了.

取初始时刻为 $t^{\prime }$, 则

$$\psi (\text{vb}\ast r,t)=\int \text{dd}[3]r^{\prime }G(\text{vb}\ast r,t;\text{vb}\ast r^{\prime },t^{\prime })\psi (\text{vb}\ast r^{\prime },t^{\prime })(t⩾t^{\prime })$$

式中

$$G(\text{vb}\ast r,t;\text{vb}\ast r^{\prime },t^{\prime })=\text{bqty}{\frac{m}{2\pi i\hslash (t-t^{\prime })}}^{\frac{3}{2}}\exp \text{bqty}i\frac{m}{2\hslash }\frac{(\text{vb}\ast r-\text{vb}\ast r^{\prime }{)}^2}{(t-t^{\prime })}$$$$\underset{t\to t^{\prime }}{lim}G(\text{vb}\ast r,t;\text{vb}\ast r^{\prime },t^{\prime })=\text{var}(\text{vb}\ast r-\text{vb}\ast r^{\prime })$$

$G(\text{vb}\ast r,t;\text{vb}\ast r^{\prime },t^{\prime })$ 的物理意义如下: 设初始时刻 $t^{\prime }$ 粒子处于空间 $\text{vb}\ast r_0^{\prime }$ 点, $\psi (\text{vb}\ast r^{\prime },t^{\prime })=\text{var}(\text{vb}\ast r^{\prime }-\text{vb}\ast r_0^{\prime })$, 按式 $\text{(???)}$

$$\psi (\text{vb}\ast r,t)=\int \text{dd}[3]r^{\prime }G(\text{vb}\ast r,t;\text{vb}\ast r^{\prime },t^{\prime })\text{var}(\text{vb}\ast r^{\prime }-\text{vb}\ast r_0^{\prime })=G(\text{vb}\ast r,t;\text{vb}\ast r^{\prime },t^{\prime })$$

式 $\text{(???)}$ 表示: 在 $t$ 时刻于空间 $\text{vb}\ast r$ 点找到粒子的概率波幅 $\psi (\text{vb}\ast r,t)$ 是 $t^{\prime }(⩽t)$ 时刻粒子在空间中各 $\text{vb}\ast r^{\prime }$ 点的概率波幅传播到 $\text{vb}\ast r$ 点后的相干叠加.

1.2.3 能量本征方程

假设 势能 $V$ 不显含 $t$ (经典力学中, 在这种势场中的粒子的机械能是守恒量). 此时, Schrodinger 方程 $\text{(???)}$ 可以用分离变数法求其特解.

特解可表示为

$$\psi (\text{vb}\ast r,t)={\psi }_E(\text{vb}\ast r)e^{-iEt/\hslash }$$

其中 ${\psi }_E(\text{vb}\ast r)$ 满足下列方程:

$$\text{bqty}-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\text{grad}}^2+V(\text{vb}\ast r){\psi }_E(\text{vb}\ast r)=E{\psi }_E(\text{vb}\ast r)$$

Schrodinger 方程更普遍的表示是

$$i\hslash \text{pdv}t\psi =\hat{H}\psi$$

$\hat{H}$ 是体系的 Hamilton 算符. 当 $\hat{H}$ 不显含 $t$ 时, 体系的能量是守恒量, 方程 $\text{(???)}$ 可以分离变量. 此时, 不含时 Schrodinger 方程, 即能量本征方程, 为

$$\hat{H}\psi =E\psi$$

1.2.4 定态与非定态

$$\psi (\text{vb}\ast r,t)={\psi }_E(\text{vb}\ast r)e^{-iEt/\hslash }$$

形式如式 $\text{(???)}$ 的波函数所描述的态, 成为 定态. 处于定态下的粒子具有如下特征:

1. 粒子在空间的 概率密度 $\rho (\text{vb}\ast r)=\text{abs}{{\psi }_E(\text{vb}\ast r)}^2$ 以及 概率流密度 $\text{vb}\ast j$ 显然 不随时间改变.
2. 任何 (不显含 $t$ 的) 力学量的平均值不随时间改变. 因为在定态 $\text{(???)}$ 下, 不显含 $t$ 的力学量 $A$ 的平均值$$\begin{array}{rl}\bar{A}& =\int {\psi }^{\ast }(\text{vb}\ast r,t)\hat{A}\psi (\text{vb}\ast r,t)\text{dd}[3]r\\ & =\int {\psi }_E^{\ast }(\text{vb}\ast r)\hat{A}{\psi }_E(\text{vb}\ast r)\text{dd}[3]r\end{array}$$

$$3.\ast \ast \mathrm{任}\mathrm{何}(\mathrm{不}\mathrm{显}\mathrm{含}\$t\$\mathrm{的})\mathrm{力}\mathrm{学}\mathrm{量}\mathrm{的}\mathrm{测}\mathrm{值}\mathrm{概}\mathrm{率}\mathrm{分}\mathrm{布}\mathrm{也}\mathrm{不}\mathrm{随}\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{改}\mathrm{变}\ast \ast .\mathrm{若}\mathrm{体}\mathrm{系}\mathrm{的}\mathrm{初}\mathrm{态}\mathrm{不}\mathrm{是}\mathrm{能}\mathrm{量}\mathrm{本}\mathrm{征}\mathrm{态},\mathrm{而}\mathrm{是}\mathrm{若}\mathrm{干}\mathrm{个}\mathrm{能}\mathrm{量}\mathrm{本}\mathrm{征}\mathrm{态}\mathrm{的}\mathrm{叠}\mathrm{加}(\mathrm{设}\$E\$\mathrm{取}\mathrm{离}\mathrm{散}\mathrm{值})$$

\psi(\vb*{r}, 0) = \sum_E C_E \psi_E(\vb*{r})

$$\mathrm{式}\mathrm{中}\mathrm{的}\mathrm{叠}\mathrm{加}\mathrm{系}\mathrm{数}\$C_E\$\mathrm{为}$$

C_E = \int \dd[3]{r} \psi_E^(\vb{r}) \psi(\vb*{r}, 0)

$$\mathrm{由}\mathrm{于}\mathrm{初}\mathrm{态}\$\psi (\text{vb}\ast r,0)\$\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{确}\mathrm{定}.\mathrm{不}\mathrm{难}\mathrm{证}\mathrm{明}$$

\begin{equation} \label{eq:37}
\psi(\vb*{r}, t) = \sum_E C_E \psi_E(\vb*{r}) e^{- i E t / \hbar}
\end{equation}

$$\mathrm{在}\mathrm{式}\$\text{(???)}\$\mathrm{所}\mathrm{示}\mathrm{状}\mathrm{态}\mathrm{下},\mathrm{粒}\mathrm{子}\mathrm{的}\mathrm{能}\mathrm{量}\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{值}\mathrm{为}$$

\overline{H} = \sum_E \abs{C_E}^2 E

$$\text{所以, \$abs{C\_E}^2\$ 可以理解为在式 \$eqref{eq:37}\$ 所示状态下测得粒子能量为 \$E\$ 值的概率. 这种由若干个能量不同的本征态的叠加所形成的态, 称为 **非定态**. \#\#\# 1.2.5 多粒子体系的 Schrodinger 方程 \#\# 1.3 量子态叠加原理 \#\#\# 1.3.1 量子态及其表象 我们称 \$psi(vb*{r})\$ 是粒子态在 **坐标表象** 中的表示, 而 \$varphi(vb*{p})\$ 则是同一个状态在 **动量表象** 中的表示. \#\#\# 1.3.2 量子态叠加原理, 测量与波函数坍缩}$$