第十六章 分离变量法总结

伴算符与自伴算符

1.

设 $\hat{L}$ 和 $\hat{M}$ 为定义在一定函数空间内的线性 (微分) 算符, 若对于该函数空间内的任意函数 $u$ 和 $v$, 恒有

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \text{qty}(v,\hat{L}u)=\text{qty}(\hat{M}v,u)\text{qq}\mathrm{即}{\int }_a^b{v}^{\ast }\hat{L}u\text{dd}x={\int }_a^b\text{qty}(\hat{M}v{)}^{\ast }u\text{dd}x,\end{array}$$

则称 $\hat{M}$ 是 $\hat{L}$ 的 伴算符.

反之, $\hat{L}$ 也是 $\hat{M}$ 的伴算符.

2.

若算符 $\hat{L}$ 的伴算符就是自身, 则称 $\hat{L}$ 是 自伴算符. 这是有

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \text{qty}(v,\hat{L}u)=\text{qty}(\hat{L}v,u)\text{qq}\mathrm{即}{\int }_a^b{v}^{\ast }\hat{L}u\text{dd}x={\int }_a^b\text{qty}(\hat{L}v{)}^{\ast }u\text{dd}x.\end{array}$$

自伴算符本征值问题的基本性质

前提是自伴算符的本粧值问题是否有解?

需要区别正则的与奇异的两种情形: 如果算符的定义域是无界或半无界区间, 或者区间的端点是方程的奇点, 则此本征值问题是奇异的, 否则就属于正则的本征值问题.

在可分的 Hilbert 空间内, 正则的自律算符本征值问题一定有解, 而且本征值是离散的 (因而构成可数集).

对于奇异的自伴算符, 其本征值问题则不一定有解, 即使有解, 也可能是连续谱, 或者离散谱与连续谱二者兼而有之.

在自伴算符本征值问题有解的前提下, 求得的本征值与本征函数具有下列性质:

(1)

自伴算符的本征值必为实数.

(2)

自伴算符的本征函数具有正交性, 即对应不同本征值的本征函数一定正交.

(3)

自伴算符的本征函数 (的全体) 构成一个完备函数组, 即任意一个在区间 $\text{comm}ab$ 中有连续二阶导数, 旦满足和自伴算符 $\hat{L}$ 相同的边界条件的函数 $f\text{qty}(x)$, 均可按本征函数 $\text{qty}{y}_n\text{qty}(x)$ 展开为绝对而且一致收敛的级数

$$\begin{array}{}\text{(3a)}& f\text{qty}(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{y}_n\text{qty}(x),\end{array}$$

其中

$$\begin{array}{}\text{(3b)}& c_n=\frac{{\int }_a^{b}f\text{qty}(x)y_n^{\ast }\text{qty}(x)\text{dd}x}{{\int }_a^b{y}_n\text{qty}(x)y_n^{\ast }\text{qty}(x)\text{dd}x}.\end{array}$$

上述展开条件还可以放宽为: 对于在 $\text{comm}ab$ 中平方可积的任意函数, $\text{(3a)}$ 在平均收敛

$$\begin{array}{}\text{(3c)}& \underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b\text{abs}{f\text{qty}(x)-\sum _{n=1}^N{c}_n{y}_n\text{qty}(x)}^2\text{dd}x=0\end{array}$$

的意义下仍然成立, 其展开系数仍为 $\text{(3c)}$.

Sturm – Liouville 型方程的本征值问题

1.

Sturm -– Liouville 型方程

$$\begin{array}{}& \text{dv}x\text{qty}[p\text{qty}(x)\text{dv}yx]+\text{qty}[\lambda \rho \text{qty}(x)-q\text{qty}(x)]y=0\text{qc}a<x<b\end{array}$$

在边界条件

$$\begin{array}{}& \text{eval}{p\text{qty}(x)\text{qty}(y_1^{\ast }\text{dv}{y}_{2}x-y_2\text{dv}{y}_1^{\ast }x)}_a^b=0\end{array}$$

下构成自伴算符的本征值问题, 其中 $\lambda$ 为参数, $\rho \text{qty}(x)$ 为权函数.

使此问题有非零解的 $\lambda$ 值称为本征值, 相应的非零解称为本征函数 (以下相同).

在常见的 Sturm – Liouville 型方程中, $p\text{qty}(x)$, $q\text{qty}(x)$ 和 $\rho \text{qty}(x)$ 均满足以下条件:

1. $p\text{qty}(x)⩾0$, 但不恒为 0, 并且只在边界点 ($a$, 或 $b$, 或 $a$ 和 $b$) 可能为 0.
2. $\rho \text{qty}(x)⩾0$, 但不恒为 0.
3. $q\text{qty}(x)⩾0$, 且 $q\text{qty}(x)/p\text{qty}(x)$ 在 $\text{comm}ab$ 中, 除 $a$, $b$ 两点可能是不超过二阶的极点外, 是实的连续函数.

Sturm – Liouville 型方程本征值问题的基本类型

与第一、二、三类边界条件构成的本征值问题

$$\begin{array}{c}\text{dv}x\text{qty}[p\text{qty}(x)\text{dv}y\text{qty}(x)x]+\text{qty}[\lambda \rho \text{qty}(x)-\text{qty}(x)]y\text{qty}(x)=0\text{qc}x\in \text{qty}(a,b),\\ {\alpha }_1{y}^{\prime }\text{qty}(a)-{\beta }_{1}y\text{qty}(a)=0\text{qc}{\alpha }_2{y}^{\prime }\text{qty}(b)+{\beta }_{2}y\text{qty}(b)=0,\end{array}$$

其中 ${\alpha }_1$, ${\beta }_1$, ${\alpha }_2$, ${\beta }_2$ 均为非负常数, 且 ${\alpha }_1$, ${\beta }_1$ 不同时为零, ${\alpha }_2$, ${\beta }_2$ 不同时为零.

存在有界条件时的本征值问题

例如,

$$\begin{array}{c}\text{dv}x\text{qty}[p\text{qty}(x)\text{dv}y\text{qty}(x)x]+\text{qty}[\lambda \rho \text{qty}(x)-q\text{qty}(x)]y\text{qty}(x)\text{qc}x\in \text{qty}(a,b),\\ y\text{qty}(a)\text{有界}\text{qc}{\alpha }_2{y}^{\prime }\text{qty}(b)+{\beta }_{2}y\text{qty}(b)=0.\end{array}$$

出现此类本征值问题的前提条件是 $p\text{qty}(a)=0$, $x=a$ 是方程的正则奇点, 且方程在 $x=a$ 点有一个解是发散的, 这是需加入一个有界条件, 将此解剔除.

若 $p\text{qty}(b)=0$ 或 $p\text{qty}(a)=p\text{qty}(b)=0$, 可做类似处理.

存在周期条件时的本征值问题

$$\begin{array}{c}\text{dv}x\text{qty}[p\text{qty}(x)\text{dv}y\text{qty}(x)x]+\text{qty}[\lambda \rho \text{qty}(x)-q\text{qty}(x)]y\text{qty}(x)=0\text{qc}x\in \text{qty}(a,b),\\ y\text{qty}(a)=y\text{qty}(b)\text{qc}{y}^{\prime }\text{qty}(a)=y^{\prime }\text{qty}(b).\end{array}$$

出现此本征值问题的条件是 $p\text{qty}(a)=p\text{qty}(b)$, $q\text{qty}(a)=q\text{qty}(b)$, $\rho \text{qty}(a)=\rho \text{qty}(b)$.

几种常见的 Sturm – Liouville 型方程

$X^{″}\text{qty}(x)+\lambda X\text{qty}(x)=0$ 或 ${\mathrm{\Phi }}^{″}\text{qty}(\varphi )+\mu \mathrm{\Phi }\text{qty}(\varphi )=0$

在这类方程中, $p\text{qty}(x)=1$, $q\text{qty}(x)=0$, 权函数 $\rho \text{qty}(x)=1$, 两方程中的待定参数为 $\lambda$ 或 $\mu$.

Bessel 方程

$$\begin{array}{}& \frac{1}{r}\text{dv}r\text{qty}[r\text{dv}R\text{qty}(r)r]+\text{qty}(k^2-\frac{m^2}{r^2})R\text{qty}(r)=0,\end{array}$$

在此方程中, $p\text{qty}(r)=r$, $q\text{qty}(r)=\frac{m^2}{r}$, 权函数 $\rho \text{qty}(r)=r$, 参数为 $k^2$.

球 Bessel 方程

$$\begin{array}{}& \frac{1}{r^2}\text{dv}r\text{qty}[r^2\text{dv}R\text{qty}(r)r]+\text{qty}[k^2-\frac{l\text{qty}(l+1)}{r^2}]R\text{qty}(r)=0,\end{array}$$

在此方程中, $p\text{qty}(r)=r^2$, $q\text{qty}(r)=l\text{qty}(l+1)$, 权函数 $\rho \text{qty}(r)=r^2$, 参数为 $k^2$.

连带 Legendre 方程

$$\begin{array}{}& \frac{1}{\sin \theta }\text{dv}\theta \text{qty}[\sin \theta \text{dv}\mathrm{\Theta }\text{qty}(\theta )\theta ]+\text{qty}(\lambda -\frac{m^2}{\sin [2]\theta })\mathrm{\Theta }\text{qty}(\theta )=0,\end{array}$$

在此方程中, $p\text{qty}(\theta )=\sin \theta$, $q\text{qty}(\theta )=\frac{m^2}{\sin \theta }$, 权函数 $\rho \text{qty}(\theta )=\sin \theta$, 参数为 $\lambda$.

做变换 $\cos \theta =x$, $\mathrm{\Theta }\text{qty}(\theta )=y\text{qty}(x)$ 可得到连带 Legendre 方程的另一个标准形式

$$\begin{array}{}& \text{dv}x\text{qty}[\text{qty}(1-x^2)\text{dv}yx]+\text{qty}(\lambda -\frac{m^2}{1-x^2})=0,\end{array}$$

这时 $p\text{qty}(x)=1-x^2$, $q\text{qty}(x)=\frac{m^2}{1-x^2}$, 权函数 $\rho \text{qty}(x)=1$, 参数仍为 $\lambda$.

Sturm – Liouville 型方程本征值问题的退化现象

在边界条件

$$\begin{array}{}& \text{eval}{p\text{qty}(x)\text{qty}(y_1^{\ast }\text{dv}[2]y_{2}x-y_2\text{dv}[2]y_1^{\ast }x)}_a=\text{eval}{p\text{qty}(x)\text{qty}(y_1^{\ast }\text{dv}[2]y_{2}x-y_2\text{dv}[2]y_1^{\ast }x)}_b=0\end{array}$$

下, Sturm – Liouville 型方程

$$\begin{array}{}& \text{dv}x\text{qty}[p\text{qty}(x)\text{dv}yx]+\text{qty}[\lambda \rho \text{qty}(x)-q\text{qty}(x)]=0\text{qc}a<x<b\end{array}$$

的本征值问题是非退化的, 即对应于一个本征值, 只有一个本征函数; 只在周期条件下, 对应于一个本征值, 才可能有两个本征函数; 这两个本征函数可能正交, 也可能不正交, 但是通过正交化步骤, 总可以将对应于同一本征值的两个本征函数正交化.