第十三章 正交曲面坐标系

正交曲面坐标系中的问分算符表达式

设正交曲面坐标系的三个坐标为 ${\xi }_1$, ${\xi }_2$, ${\xi }_3$, 其孤元 $\text{dd}s$ 为

$$\begin{array}{}& \text{dd}{s}^2=\sum _{i=1}^3{H}_i^2\text{dd}{{\xi }_i}^2,\end{array}$$

其中 $H_i$ 是此正交曲面坐标系的度规, 一般是 ${\xi }_1$, ${\xi }_2$, ${\xi }_3$ 的函数. 它可以通过直角坐标与正交曲面坐标之间的关系算出

$$\begin{array}{}& H_i^2=\text{qty}(\text{pdv}x{\xi }_i{)}^2+\text{qty}(\text{pdv}y{\xi }_i{)}^2+\text{qty}(\text{pdv}z{\xi }_i{)}^2\text{qc}i=1,2,3.\end{array}$$

在球坐标系中,

$$\begin{array}{rlrlrl}& {\xi }_1=r,& & {\xi }_2=\theta ,& & {\xi }_3=\varphi ,\\ & \text{dd}{s}_1=\text{dd}r,& & \text{dd}{s}_2=r\text{dd}\theta ,& & \text{dd}{s}_3=r\sin \theta \text{dd}\varphi ,\\ & H_1=1,& & H_2=r,& & H_3=r\sin \theta .\end{array}$$

在柱坐标系中,

$$\begin{array}{rlrlrl}& {\xi }_1=r,& & {\xi }_2=\varphi ,& & {\xi }_3=z,\\ & \text{dd}{s}_1=\text{dd}r,& & \text{dd}{s}_2=r\text{dd}\varphi ,& & \text{dd}{s}_3=\text{dd}z,\\ & H_1=1,& & H_2=r,& & H_3=1.\end{array}$$

标量函数 $u$ 的梯度

一般正交曲面坐标系中标量函数 $u\text{qty}({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$ 的梯度

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \text{grad}u=\text{qty}(\frac{1}{H_1}\text{pdv}u{\xi }_1,\frac{1}{H_2}\text{pdv}u{\xi }_2,\frac{1}{H_3}\text{pdv}u{\xi }_3).\end{array}$$

球坐标系中标量函数 $u\text{qty}(r,\theta ,\varphi )$ 的梯度

$$\begin{array}{}& \text{grad}u=\text{qty}(\text{pdv}ur,\frac{1}{r}\text{pdv}u\theta ,\frac{1}{r\sin \theta }\text{pdv}u\varphi ).\end{array}$$

柱坐标系中标量函数 $u\text{qty}(r,\varphi ,z)$ 的梯度

$$\begin{array}{}& \text{grad}u=\text{qty}(\text{pdv}ur,\frac{1}{r}\text{pdv}u\varphi ,\text{pdv}uz).\end{array}$$

矢量函数 $\text{vb}\ast A$ 的散度

一般正交曲面坐标系中矢量函数 $\text{vb}\ast A\text{qty}({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$ 的散度

$$\begin{array}{}\text{(2)}& ÷\text{vb}\ast A=\frac{1}{H_1{H}_1{H}_3}\sum _{i=1}^3\text{pdv}{\xi }_i(\frac{H_1{H}_2{H}_3}{H_i}{A}_i)\end{array}$$

球坐标系中适量函数 $\text{vb}\ast A\text{qty}(r,\theta ,\varphi )$ 的散度

$$\begin{array}{}& ÷\text{vb}\ast A=\frac{1}{r^2}\text{pdv}r(r^2{A}_r)+\frac{1}{r\sin \theta }\text{pdv}\theta (\sin \theta A_{\theta })+\frac{1}{r\sin \theta }\text{pdv}{A}_{\varphi }\varphi .\end{array}$$

柱坐标系中适量函数 $\text{vb}\ast A\text{qty}(r,\varphi ,z)$ 的散度

$$\begin{array}{}& ÷\text{vb}\ast A=\frac{1}{r}\text{pdv}r(r{A}_r)+\frac{1}{r}\text{pdv}{A}_{\varphi }\varphi +\text{pdv}{A}_{z}z.\end{array}$$

矢量函数 $\text{vb}\ast A$ 的旋度

一般正交曲面坐标系中矢量函数 $\text{vb}\ast A\text{qty}({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$ 的旋度

作用于标量函数 $u$ 的 Laplace 算符

可由 $\text{laplacian}u=÷\text{grad}u$ 得到.

球坐标系中标量函数 $u\text{qty}(r,\theta ,\varphi )$ 的 Laplace 算符

$$\begin{array}{}& \text{laplacian}u=\frac{1}{r^2}\text{pdv}r(r^2\text{pdv}ur)+\frac{1}{r\sin \theta }\text{pdv}\theta (\sin \theta \text{pdv}u\theta )+\frac{1}{r^2\sin [2]\theta }\text{pdv}[2]u\varphi .\end{array}$$

柱坐标系中标量函数 $u\text{qty}(r,\varphi ,z)$ 的 Laplace 算符

$$\begin{array}{}& \text{laplacian}u=\frac{1}{r}\text{pdv}r(r\text{pdv}ur)+\frac{1}{r^2}\text{pdv}[2]u\varphi +\text{pdv}[2]uz.\end{array}$$

作用于矢量函数 $\text{vb}\ast A$ 的拉普拉斯算符

Laplace 算符的不变性

在常用的坐标变换下, 包括有线性变换 (如平移变换), 正交变换 (如空间转动) 及空间反射 ($\text{vb}\ast r^{\prime }=-\text{vb}\ast r$) 等, Laplace 算符具有不变性,

$$\begin{array}{}& \text{pdv}[2]x^{\prime }+\text{pdv}[2]y^{\prime }+\text{pdv}[2]z^{\prime }=\text{pdv}[2]x+\text{pdv}[2]y+\text{pdv}[2]z.\end{array}$$

Helmholtz 方程 $\text{laplacian}u+k^{2}u=0$ 在球坐标和柱坐标中分离变量

球坐标系中 Helmholtz 方程为

$$\begin{array}{}& \frac{1}{r^2}\text{pdv}r(r^2\text{pdv}ur)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\text{pdv}\theta (\sin \theta \text{pdv}u\theta )+\frac{1}{r^2\sin [2]\theta }\text{pdv}[2]u\varphi +k^{2}u=0,\end{array}$$

令 $u\text{qty}(r,\theta ,\varphi )=R\text{qty}(r)\mathrm{\Theta }\text{qty}(\theta )\mathrm{\Phi }\text{qty}(\varphi )$, 则可分离出方程

$$\begin{gathered} \begin{array}{}& \frac{1}{r^2}\text{dv}r(r^2\text{dv}Rr)+\text{qty}(k^2-\frac{\mu }{r^2})R=0, \\ \frac{1}{\sin \theta }\text{dv}\theta (\sin \theta \text{dv}\mathrm{\Theta }\theta )+\text{qty}(\mu -\frac{m^2}{\sin [2]\theta })\mathrm{\Theta }=0, \\ {\mathrm{\Phi }}^{″}+m^2\mathrm{\Phi }=0.\end{array} \end{gathered}$$

第一个方程可化为 Bessel 方程, 当 $k=0$ 时, 它是 Euler 型方程, 第二个方程称为连带 Legendre 方程.

柱坐标系中 Helmholtz 方程为

$$\begin{array}{}& \frac{1}{r}\text{pdv}r(r\text{pdv}ur)+\frac{1}{r^2}\text{pdv}[2]u\varphi +\text{pdv}[2]uz+k^{2}u=0.\end{array}$$

令 $u\text{qty}(r,\varphi ,z)=R\text{qty}(r)\mathrm{\Phi }\text{qty}(\varphi )Z\text{qty}(z)$, 则可分离出方程

$$\begin{gathered} \begin{array}{}& \frac{1}{r}\text{dv}r(r\text{dv}Rr)+\text{qty}(k^2-\mu -\frac{m^2}{r^2})R=0, \\ {\mathrm{\Phi }}^{″}+m^2\mathrm{\Phi }=0, \\ {Z}^{″}+\mu Z=0,\end{array} \end{gathered}$$

第一个方程可化为 Bessel 方程, 当 $k^2-\mu =0$ 时, 退化为 Euler 型方程.

应用中的几个问题

在应用中常涉及特殊函数问题

将在以下几章中讨论, 这里略去.

在圆内第一类边值问题 (圆内 Dirichlet 问题) 中

由周期边界条件构成本征值问题

$$\begin{gathered} \begin{array}{}& {\mathrm{\Phi }}^{″}\text{qty}(\varphi )+\nu \mathrm{\Phi }\text{qty}(\varphi )=0\text{qc}\varphi \in \text{qty}(0,2\pi ), \\ \mathrm{\Phi }\text{qty}(0)=\mathrm{\Phi }\text{qty}(2\pi )\text{qc}{\mathrm{\Phi }}^{\prime }\text{qty}(0)={\mathrm{\Phi }}^{\prime }\text{qty}(2\pi ).\end{array} \end{gathered}$$

对本征值 ${\nu }_0=0$, 本征函数

$$\begin{array}{}& {\mathrm{\Phi }}_0\text{qty}(\varphi )=1;\end{array}$$

对本征值 ${\nu }_m=m^2$ ($m\ne 0$), 本征函数是二重简并的

$$\begin{array}{}& {\mathrm{\Phi }}_m\text{qty}(\varphi )=\{\begin{array}{l}\sin m\varphi ,\\ \cos m\varphi ,\end{array}m=1,2,3,\dots \end{array}$$

或

$$\begin{array}{}& {\mathrm{\Phi }}_m\text{qty}(\varphi )=e^{im\varphi }\text{qc}m=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots .\end{array}$$

本征函数的这两种取法, 不仅不同本征值的本征函数相互正交, 而且两个简并本征函数之间也是正交的.