05. 有旋流动和有势流动

liblaf12/29/22About 3 min

5.1 有旋流动

\qq 涡 量 \vb * Ω = \curl \vb * u = 2 \vb * ω

\qq 涡 线 \vb * Ω \cp \dd \vb * l = 0 \qq 即 \frac{\dd x}{Ω_{x}} = \frac{\dd y}{Ω_{y}} = \frac{\dd z}{Ω_{z}}

在流场中, 取一条不与涡线重合的封闭曲线 $L$ , 在同一时刻过 $L$ 上每一点作涡线, 由这些涡线围成的管状曲面称为涡管.

\qq 涡 通 量 I = \iint_{A} \vb * Ω \vdot \vb * n \dd A

\qq 速 度 环 量 Γ_{A B} = \int_{A B} \vb * u \vdot \dd \vb * L

\qq 斯 托 克 斯 定 理 \oint_{L} \vb * u \vdot \dd \vb * L = \iint_{A} \vb * Ω \vdot \vb * n \dd A = \iint_{A} \pqty \curl \vb * u \vdot \vb * n \dd A

由涡管强度守恒定理可得到结论: 涡管截面不可能收缩为零, 即涡管不能在流体中终止或开始. 涡管存在的形式只可能有以下两种:

出现在圆柱绕流尾流区的两组规则交错排列的线涡

\vb * u = \grad φ

性质:

\dd ψ = u_{x} \dd y - u_{y} \dd x \qq 显 然 \pdv ψ x = - u_{y} \qc \pdv ψ y = u_{x}

性质:

\begin{array}{ll} u_{x} = \pdv φ x = \pdv ψ y \\ u_{y} = \pdv φ y = - \pdv ψ x \end{array}} \qq 柯 西 - 黎 曼 条 件

\qq 复 势 W (z) = φ (x, y) + i ψ (x, y) \qq 复 速 度 \dv W z = \pdv φ x + i \pdv ψ x = u_{x} - i u_{y} \qq 复 速 度 \bar{V} = \dv W z = u_{x} - i u_{y} = \abs \vb * u e^{- i θ}

复势的主要性质:

速度 $U_{\infty}$ 与 $x$ 轴的夹角为 $α$

ψ = - U_{\infty} x \sin α + U_{\infty} y \cos α φ = U_{\infty} x \cos α + U_{\infty} y \sin α

φ = \frac{q}{2 π} \ln r ψ = \frac{q}{2 π} θ

φ = \frac{Γ}{2 π} θ ψ = - \frac{Γ}{2 π} \ln r

φ = \frac{m}{2 π} \frac{x}{x^{2} + y^{2}} ψ = - \frac{m}{2 π} \frac{y}{x^{2} + y^{2}}

\qq 零 流 线 r = a = \sqrt{\frac{m}{2 π U_{\infty}}}

φ = U_{\infty} r \cos θ \pqty 1 + \frac{a^{2}}{r^{2}} ψ = U_{\infty} r \sin θ \pqty 1 - \frac{a^{2}}{r^{2}}