04. 流体动力学基础

liblaf12/29/22About 3 min

4.1 运动流体的应力状态

\dv \vb * u t = \pdv \vb * u t + \pqty \vb * u \vdot \grad \vb * u = \vb * f - \frac{1}{ρ} \grad p + ν \laplacian \vb * u

$\pdv \vb * u t$ — 时变惯性力; $\pqty \vb * u \vdot \grad \vb * u$ — 位变惯性力; $\vb * f$ — 质量力; $\frac{1}{ρ} \grad p$ — 压力差; $ν \laplacian \vb * u$ — 黏性力

\dv \vb * u t = \pdv \vb * u t + \pqty \vb * u \vdot \grad \vb * u = \vb * f - \frac{1}{ρ} \grad p

条件: 理想, 恒定, 不可压, 质量力有势

对同一流线上任意两点 1 和 2 有

z_{1} + \frac{p_{1}}{ρ g} + \frac{u_{1}^{2}}{2 g} = z_{2} + \frac{p_{2}}{ρ g} + \frac{u_{2}^{2}}{2 g}

条件: 理想, 恒定, 不可压, 质量力有势, 无旋 (有势)

z + \frac{p}{ρ g} + \frac{u^{2}}{2 g} = C

$z$ — 位置势能; $\frac{p}{ρ g}$ — 压强势能; $z + \frac{p}{ρ g}$ — 总势能; $\frac{u^{2}}{2 g}$ — 动能; $z + \frac{p}{ρ g} + \frac{u^{2}}{2 g}$ — 总机械能

$z$ — 位置水头; $\frac{p}{ρ g}$ — 压强水头; $z + \frac{p}{ρ g}$ — 测压管水头; $\frac{u^{2}}{2 g}$ — 速度水头; $H = z + \frac{p}{ρ g} + \frac{u^{2}}{2 g}$ — 总水头

\qq 总 机 械 能 (总 水 头) H = z + \frac{p}{ρ g} + \frac{α u^{2}}{2 g}

$α$ — 动能修正系数, $α > 1.0$ , 常近似地取 $α = 1.0$ .

z_{1} + \frac{p_{1}}{ρ g} + \frac{u_{1}^{2}}{2 g} = z_{2} + \frac{p_{2}}{ρ g} + \frac{u_{2}^{2}}{2 g} + h_{w 1 - 2}

断面 1-1 是上游断面, 断面 2-2 是下游断面, $h_{w 1 - 2}$ 为总流在断面 1-1 和 2-2 之间平均每单位重量流体所损耗的机械能, 称为 水头损失.

\qq 水 力 坡 度 J = - \dv H s = \dv h_{w} s

\begin{matrix} K = \frac{π}{4} \frac{d_{1}^{2} d_{2}^{2}}{\sqrt{d_{1}^{4} - d_{2}^{4}}} \sqrt{2 g} \\ Q_{实} = μ K \sqrt{Δ h} \end{matrix}

$μ$ — 文透里管的流量系数, $μ < 1.0$

条件:

ρ \pqty α_{02} v_{2} \vb * v_{2} A_{2} - α_{01} v_{1} \vb * v_{1} A_{1} = \sum \vb * F \qq 或 ρ Q \pqty α_{02} \vb * v_{2} - α_{01} \vb * v_{1} = \sum \vb * F

$α_{0}$ — 动量修正系数, $α_{0} > 1$ , 常采用 $α_{0} = 1.0$