03. 流体运动学

3.1 流体运动的描述方法

3.1.1 拉格朗日法

拉格朗日法 是质点系法. 拉格朗日法的特点是: 跟着所选定的流体质点, 观察它的位移.

3.1.2 欧拉法

欧拉法 是空间点法. 欧拉法的特点是在选定的空间上观察流经它的流体质点的运动情况.

3.1.3 流体质点的加速度、质点导数

$$\begin{array}{rl}\text{vb}\ast a& =\text{dv}\text{vb}\ast ut\\ & =\text{pdv}\text{vb}\ast ut+\text{pqty}\text{vb}\ast u\cdot \text{grad}\text{vb}\ast u\\ & =\text{时变加速度}+\text{位变加速度}\end{array}$$$$\text{dv}t\equiv \text{pqty}\text{pdv}t+\text{vb}\ast u\cdot \text{grad}$$

$\text{dv}t$ 表示求 质点导数 (全导数); $\text{pdv}t$ 表示求 时变导数 (当地导数或局部导数); $\text{vb}\ast u\cdot \text{grad}$ 表示求 位变导数 (迁移导数或对流导数).

3.2 有关流场的几个基本概念

3.2.1 恒定流、非恒定流

若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化, 称流动为 恒定流. 否则, 为 非恒定流.

流动是否恒定与所选取的参考坐标系有关.

3.2.2 迹线和流线

1. 迹线

迹线 是流体质点运动的轨迹.

$$\text{dd}\text{vb}\ast r=\text{vb}\ast u\text{bqty}x(t),y(t),z(t),t\text{dd}t\text{qq}\mathrm{即}\frac{\text{dd}x}{u_x}=\frac{\text{dd}y}{u_y}=\frac{\text{dd}z}{u_z}=\text{dd}t$$

2. 流线

流线 是流速场的矢量线.

$$\text{vb}\ast u\text{cp}\text{dd}\text{vb}\ast l=0\text{qq}\mathrm{即}\frac{\text{dd}x}{u_x}=\frac{\text{dd}y}{u_y}=\frac{\text{dd}z}{u_z}$$

3.2.3 流管和流量

在流场中, 取一条不与流线重合的封闭曲线 $L$, 在同一时刻过 $L$ 上每一点作流线, 由这些流线围成的管状曲面称为 流管.

与流动方向正交的流管的横断面叫 过流断面.

过流断面为面积微元的流管叫 元流管, 其中的流动称为 元流. 过流断面为有限面积的流管中的流动叫 总流.

3.2.4 均匀流, 非均匀流; 渐变流, 急变流

把位变导数为零的流场中的流动称为 均匀流, 否则为 非均匀流.

将接近于均匀流的流动称为 渐变流. 流线间夹角较大或流线弯曲的曲率较大的流动为 急变流.

3.3 流体微团运动的分析

3.3.1 海姆霍兹速度分解定理

$$\widehat{\text{vb}\ast u}=\text{vb}\ast u+\text{vb}\ast E\cdot \text{dd}\text{vb}\ast r+\text{vb}\ast \mathrm{\Omega }\text{cp}\text{dd}\text{vb}\ast r$$$$\text{qq}\mathrm{流}\mathrm{体}\mathrm{的}\mathrm{变}\mathrm{形}\mathrm{速}\mathrm{率}\mathrm{张}\mathrm{量}\text{vb}\ast \epsilon =\left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{xx}& {\epsilon }_{xy}& {\epsilon }_{xz}\\ {\epsilon }_{yx}& {\epsilon }_{yy}& {\epsilon }_{yz}\\ {\epsilon }_{zx}& {\epsilon }_{zy}& {\epsilon }_{zz}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}\text{pqty}\text{pdv}{u}_{x}x+\text{pdv}{u}_{x}x& \frac{1}{2}\text{pqty}\text{pdv}{u}_{x}y+\text{pdv}{u}_{y}x& \frac{1}{2}\text{pqty}\text{pdv}{u}_{x}z+\text{pdv}{u}_{z}x\\ \frac{1}{2}\text{pqty}\text{pdv}{u}_{y}x+\text{pdv}{u}_{x}y& \frac{1}{2}\text{pqty}\text{pdv}{u}_{y}y+\text{pdv}{u}_{y}y& \frac{1}{2}\text{pqty}\text{pdv}{u}_{y}z+\text{pdv}{u}_{z}y\\ \frac{1}{2}\text{pqty}\text{pdv}{u}_{z}x+\text{pdv}{u}_{x}z& \frac{1}{2}\text{pqty}\text{pdv}{u}_{z}y+\text{pdv}{u}_{y}z& \frac{1}{2}\text{pqty}\text{pdv}{u}_{z}z+\text{pdv}{u}_{z}z\end{array}\right]$$$$\text{qq}\mathrm{流}\mathrm{体}\mathrm{旋}\mathrm{转}\mathrm{角}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{矢}\mathrm{量}\text{vb}\ast \mathrm{\Omega }=\text{pqty}{\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z=\text{bqty}\frac{1}{2}\text{pqty}\text{pdv}{u}_{z}y-\text{pdv}{u}_{y}z,\frac{1}{2}\text{pqty}\text{pdv}{u}_{x}z-\text{pdv}{u}_{z}x,\frac{1}{2}\text{pqty}\text{pdv}{u}_{x}y-\text{pdv}{u}_{y}x$$$$\text{vb}\ast \mathrm{\Omega }=\frac{1}{2}\text{curl}\text{vb}\ast u$$

3.3.2 流体微团运动分析

$$\widehat{\text{vb}\ast u}=\text{vb}\ast u+\text{vb}\ast E\cdot \text{dd}\text{vb}\ast r+\text{vb}\ast \mathrm{\Omega }\text{cp}\text{dd}\text{vb}\ast r$$

$\widehat{\text{vb}\ast u}$ — $\hat{M}$ 点的流速; $\text{vb}\ast u$ — $M$ 点的流速; $\text{vb}\ast E\cdot \text{dd}\text{vb}\ast r$ — 流体变形引起的两点相对运动速度, 包括线变形和角变形; $\text{vb}\ast \mathrm{\Omega }\text{cp}\text{dd}\text{vb}\ast r$ 是流体平均旋转角速度引起的两点相对运动速度. 海姆霍兹速度分解定理表明流体微团运动可分解为平移、转动和变形三种形式.

3.4 连续性方程

1. 三维流动的连续性微分方程

$$\text{pdv}\rho t+÷(\rho \text{vb}\ast u)=0$$