5. 弹性理论的微分提法、解法及一般原理

liblaf11/4/22About 2 min

5.1 弹性力学问题的微分提法

平衡 (运动) 方程

σ_{i j, j} + f_{i} = 0 (= ρ {\ddot{u}}_{i})

几何方程

ε_{i j} = \frac{1}{2} \pqty u_{i, j} + u_{j, i}

应变协调方程

ε_{i j, k l} + ε_{k l, i j} - ε_{i k, j l} - ε_{j l, i k} = 0

本构方程

应变 - 应力公式

ε_{i j} = \frac{1 + ν}{E} σ_{i j} - \frac{ν}{E} σ_{k k} δ_{i j}

应力 - 应变公式

σ_{i j} = 2 G ε_{i j} + λ ε_{k k} δ_{i j}

基本方程组

第一组

\begin{matrix} 平衡方程 (???) \\ 本构方程 (???) \\ 几何方程 (???) \end{matrix}

第二组

\begin{matrix} 协调方程 (???) \\ 本构方程 (???) \\ 平衡方程 (???) \end{matrix}

边界条件

力边界

σ_{j i} ν_{j} = {\overset{―}{X}}_{i}

位移边界

u_{i} = {\overset{―}{u}}_{i}

5.2 位移解法

位移法定解方程 / 拉梅方程 / L-N 方程

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要求平面情况推导

G u_{i, j j} + \pqty λ + G u_{j, j i} + f_{i} = 0 (i = 1, 2, 3)

常规形式为

\begin{aligned} G \laplacian u + \pqty λ + G \pdv θ x + f_{1} & = 0 \\ G \laplacian v + \pqty λ + G \pdv θ y + f_{2} & = 0 \\ G \laplacian w + \pqty λ + G \pdv θ z + f_{3} & = 0 \end{aligned}

力边界条件

\bqty G \pqty u_{i, j} + u_{j, i} + λ u_{k, k} δ_{i j} ν_{j} = {\overset{―}{X}}_{i}

5.3 应力解法

应力协调方程 / 贝尔脱拉密 - 密乞尔方程 / B-M 方程

\begin{matrix} \laplacian σ_{x} + \frac{1}{1 + ν} \pdv [2] Θ x = - 2 \pdv f_{1} x - \frac{ν}{1 - ν} \pqty \pdv f_{1} x + \pdv f_{2} y + \pdv f_{3} z \\ \laplacian σ_{y} + \frac{1}{1 + ν} \pdv [2] Θ y = - 2 \pdv f_{2} y - \frac{ν}{1 - ν} \pqty \pdv f_{1} x + \pdv f_{2} y + \pdv f_{3} z \\ \laplacian σ_{z} + \frac{1}{1 + ν} \pdv [2] Θ z = - 2 \pdv f_{3} z - \frac{ν}{1 - ν} \pqty \pdv f_{1} x + \pdv f_{2} y + \pdv f_{3} z \\ \laplacian τ_{y z} + \frac{1}{1 + ν} \pdv Θ y z = - \pqty \pdv f_{2} z + \pdv f_{3} y \\ \laplacian τ_{z x} + \frac{1}{1 + ν} \pdv Θ z x = - \pqty \pdv f_{3} x + \pdv f_{1} z \\ \laplacian τ_{x y} + \frac{1}{1 + ν} \pdv Θ x y = - \pqty \pdv f_{1} y + \pdv f_{2} x \end{matrix}

5.7 圣维南原理

由作用在物体局部表面上的自平衡力系 (即合力与合力矩为零的力系) 所引起的应力和应变, 在远离作用区 (距离远大于该局部区域)