2. 应力理论

2.2 斜面应力公式

应力张量

$$\text{vb}\ast \sigma ={\sigma }_{ij}\text{vb}\ast e_i\text{vb}\ast e_j$$

柯西公式 / 斜面应力公式

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要求推导

$$\text{vb}\ast {\sigma }_{(\text{vb}\ast v)}=\text{vb}\ast \nu \cdot \text{vb}\ast \sigma$$

求斜面上的各种力

全应力

斜面应力 $\text{vb}\ast {\sigma }_{(\text{vb}\ast \nu )}$ 的大小

斜面正应力

$$\begin{array}{rl}\text{vb}\ast {\sigma }_n& ={\sigma }_n\text{vb}\ast \nu \\ {\sigma }_n& =\text{vb}\ast {\sigma }_{(\text{vb}\ast \nu )}\cdot \text{vb}\ast \nu =\text{vb}\ast \nu \cdot \text{vb}\ast \sigma \cdot \text{vb}\ast \nu \end{array}$$

斜面剪应力

$$\begin{array}{rl}\text{vb}\ast \tau & =\text{vb}\ast {\sigma }_{(\text{vb}\ast \nu )}-\text{vb}\ast {\sigma }_n\\ \tau & =\sqrt{{\sigma }_{\text{vb}\ast \nu }^2-{\sigma }_n^2}\end{array}$$

给定力边界条件

$$p_j={\nu }_i{\sigma }_{ij}$$

2.3 应力分量转换公式

$${\sigma }_{m^{\prime }{n}^{\prime }}=\text{vb}\ast {\sigma }_{(m^{\prime })}\cdot \text{vb}\ast {\sigma }_{n^{\prime }}=\text{vb}\ast e_{m^{\prime }}\cdot \text{vb}\ast \sigma \cdot \text{vb}\ast e_{n^{\prime }}={\beta }_{m^{\prime }i}{\beta }_{n^{\prime }j}{\sigma }_{ij}$$

其中

$${\beta }_{m^{\prime }i}=\cos (x_m^{\prime },x_i)$$

2.4 主应力, 应力不变量

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考一题计算

$$\left|\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}-{\sigma }_{\nu }& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}-{\sigma }_{\nu }& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}-{\sigma }_{\nu }\end{array}\right|=0$$

特征方程

$${\sigma }_v^3-I_1{\sigma }_v^2+I_2{\sigma }_v-I_3=0$$

主应力

特征方程的三个特征根.

主应力的几个重要性质

1. 不变性
2. 实数性
3. 正交性
4. 极值性
   1. 最大 (或最小) 主应力是相应点处任意截面上正应力的最大 (或最小) 者
   2. 绝对值最大 (或最小) 的主应力是相应点处任意截面上全应力的最大 (或最小) 者
   3. 最大剪应力等于最大与最小主应力之差的一半$${\tau }_{max}=\frac{1}{2}\text{pqty}{\sigma }_1-{\sigma }_3$$

$$$$

2.5 最大剪应力, 八面体剪应力

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要求计算

八面体正应力

$${\sigma }_0=\frac{1}{3}({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3)=\frac{1}{3}{I}_1$$

八面体剪应力

$${\tau }_0=\frac{1}{3}\sqrt{2I_1^2-6I_2}$$

2.6 应力偏量

$$\text{vb}\ast \sigma ={\sigma }_0\text{vb}\ast I+\text{vb}\text{*}{\sigma }^{\prime }$$

应力球量

$$\text{begin{align*} sigma\_0 vb*{I} \& = sigma*{ij}^0 vb*{e}\_i vb*{e}\_j sigma\_0 \& = frac{1}{3} sigma*{kk} \& quad (text{平均正应力}) end{align*}}$$

应力偏量

$$\text{begin{align*} vb*{sigma}' \& = sigma*CS\_PLACEHOLDER}sigma\_lta*{ij} end{align*}}$$

2.7 应力状态的三维莫尔圆

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三维不要求
平面要求

2.8 平衡微分方程

平衡微分方程 / 平衡方程

$$\sigma \mathrm{\_}ji,j+f_i=0$$

运动微分方程

$$\sigma \mathrm{\_}ji,j+f_i=\rho \text{pdv}[2]u_{i}t$$

剪应力互等定理 / 应力张量的对称性

$$\sigma \ast ij=\sigma \ast ji$$$$$$